Introdução às Derivadas

A derivada é um dos conceitos centrais do cálculo diferencial.
Ela descreve como uma função varia em relação à sua variável.

Em outras palavras, a derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função.

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Interpretação geométrica

Geometricamente, a derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto.

Se temos uma função:

$$y = f(x)$$

a derivada indica o quão inclinada está a curva naquele ponto.

Por exemplo:

• derivada positiva → função crescente
• derivada negativa → função decrescente
• derivada igual a zero → ponto crítico

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Definição de derivada

Matematicamente, a derivada é definida pelo limite:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Essa expressão mede a variação da função quando a variação de (x) tende a zero.

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Exemplo simples

Considere a função:

$$f(x) = x^2$$

Sua derivada é:

$$f'(x) = 2x$$

Isso significa que a taxa de variação da função depende do valor de (x).

Por exemplo:

• em (x=1), a inclinação é 2
• em (x=3), a inclinação é 6

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Significado físico

Na Física, a derivada aparece naturalmente.

Exemplo clássico:

Se a posição de um objeto é dada por

$$s(t)$$

então a velocidade é a derivada da posição:

$$v(t) = \frac{ds}{dt}$$

E a aceleração é a derivada da velocidade:

$$a(t) = \frac{dv}{dt}$$

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Regras básicas de derivação

Algumas derivadas importantes são:

Função	Derivada
$x^n$	$nx^{n-1}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$-sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$1/x$

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Exemplo resolvido

Calcule a derivada de:

$$f(x) = 3x^2 + 2x$$

Derivando termo a termo:

$$f'(x) = 6x + 2$$

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Aplicações das derivadas

Derivadas são usadas para:

• calcular velocidade e aceleração
• determinar máximos e mínimos
• estudar crescimento de funções
• otimização de problemas
• modelagem em Física e Engenharia

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Próximo passo

Agora pratique resolvendo exercícios.

➡️ Lista de exercícios de Derivadas