Limites

Resolva os limites abaixo.

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Exercício 1

$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$$

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Usando a expansão de Taylor:

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$$

Logo:

$$1-\cos x \approx \frac{x^2}{2}$$

Portanto:

$$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

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Exercício 2

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$$

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Sabemos que:

$$\frac{\sin x}{x} \to 1$$

e

$$\cos x \to 1$$

Como

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

Então

$$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$$

Logo

$$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$$

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Exercício 3

$$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 3x}{2x^2 - x}$$

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Dividindo por $x^2$:

$$\frac{5 + \frac{3}{x}}{2 - \frac{1}{x}}$$

Quando $x \to \infty$:

$$\frac{3}{x} \to 0 \quad \frac{1}{x} \to 0$$

Logo

$$\frac{5}{2}$$

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Exercício 4

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x-2}$$

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Fatorando:

$$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$

Cancelando:

$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$

Então:

$$x+2$$

Logo

$$\lim_{x \to 2} (x+2) = 4$$

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Exercício 5

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$

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Multiplicando pelo conjugado:

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$$$$= \frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}$$

Cancelando:

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$$

Quando $x\to0$:

$$\frac{1}{2}$$