🔄 Transformação de Raízes

Resolva os exercícios abaixo.

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🧩 Exercício 1 Fácil

As raízes da equação

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$R + 2 \quad \text{e} \quad S + 2$$

🔎 Ideia

Translação das raízes.

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$$R + S = 5,\quad RS = 6$$

Nova soma:

$$(R+2)+(S+2) = 9$$

Novo produto:

$$(R+2)(S+2) = RS + 2(R+S) + 4 = 6 + 10 + 4 = 20$$

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🎯 Equação

$$x^2 - 9x + 20 = 0$$

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🧩 Exercício 2 Fácil

As raízes de

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$2R \quad \text{e} \quad 2S$$

🔎 Ideia

Multiplicação das raízes.

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$$R+S = 3,\quad RS = 2$$

Nova soma:

$$2R + 2S = 6$$

Novo produto:

$$(2R)(2S) = 4RS = 8$$

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🎯 Equação

$$x^2 - 6x + 8 = 0$$

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🧩 Exercício 3 Médio

As raízes de

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$\frac{1}{R} \quad \text{e} \quad \frac{1}{S}$$

🔎 Ideia

Inverso das raízes.

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$$R+S = 4,\quad RS = 3$$

Nova soma:

$$\frac{1}{R} + \frac{1}{S} = \frac{R+S}{RS} = \frac{4}{3}$$

Novo produto:

$$\frac{1}{RS} = \frac{1}{3}$$

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🎯 Equação

$$x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{1}{3} = 0$$

Multiplicando por 3:

$$\boxed{3x^2 - 4x + 1 = 0}$$

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🧩 Exercício 4 Difícil

As raízes de

$$ax^2 + bx + c = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$aR + b \quad \text{e} \quad aS + b$$

$$R+S = -\frac{b}{a},\quad RS = \frac{c}{a}$$

Nova soma:

$$a(R+S) + 2b = -b + 2b = b$$

Novo produto:

$$(aR+b)(aS+b) = a^2RS + ab(R+S) + b^2$$$$= ac - b^2 + b^2 = ac$$

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🎯 Equação

$$\boxed{x^2 - bx + ac = 0}$$

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🧩 Exercício 5 Difícil

As raízes de

$$x^2 - 7x + 10 = 0$$

são $R$ e $S$. Determine a equação cujas raízes são:

$$R^2 \quad \text{e} \quad S^2$$

🔎 Ideia

Usar:

$$R^2 + S^2 = (R+S)^2 - 2RS$$

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$$R+S = 7,\quad RS = 10$$

Nova soma:

$$R^2 + S^2 = 49 - 20 = 29$$

Novo produto:

$$R^2S^2 = (RS)^2 = 100$$

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🎯 Equação

$$x^2 - 29x + 100 = 0$$