Conceito de Ângulos

O ângulo é uma figura geométrica formada por duas semirretas que possuem a mesma origem.

As duas semirretas determinam uma abertura, que é a região estudada quando analisamos um ângulo.

Considere:

        B
       /
      /
     /
    A •----------------→ C

As semirretas:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

possuem a mesma origem, o ponto $A$.

Portanto, elas formam um ângulo.

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Elementos de um ângulo

Todo ângulo possui três elementos fundamentais:

• vértice;
• lado;
• lado.

Considere:

        B
       /
      /
     /
    A •----------------→ C

O ponto $A$ é o vértice do ângulo.

As semirretas:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

são os lados do ângulo.

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Vértice

O vértice é o ponto comum às duas semirretas que formam o ângulo.

Na figura:

        B
       /
      /
     A •----------------→ C

o vértice é:

$$\boxed{A}$$

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Lados do ângulo

Os lados são as duas semirretas que formam o ângulo.

No exemplo:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

são os lados.

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Como nomear um ângulo

Um ângulo pode ser identificado utilizando três letras.

Considere:

        B
       /
      /
     /
    A •----------------→ C

Esse ângulo pode ser chamado de:

$$\angle BAC$$

ou:

$$\angle CAB$$

As duas representações indicam o mesmo ângulo.

Atenção

A letra que representa o vértice deve aparecer no meio.

Na expressão:

$$\angle BAC$$

temos:

• $B$ → ponto de um lado;
• $A$ → vértice;
• $C$ → ponto do outro lado.

Portanto, $A$ é a letra central.

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A importância da letra central

Considere:

$$\angle ABC$$

O vértice é:

$$\boxed{B}$$

Isso acontece porque $B$ aparece no meio.

Já em:

$$\angle BAC$$

o vértice é:

$$\boxed{A}$$

Portanto:

Em uma representação de três letras, a letra do meio sempre indica o vértice.

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Representação por uma única letra

Quando existe apenas um ângulo no vértice, também podemos utilizar uma única letra para identificá-lo.

Por exemplo:

        B
       /
      /
     A •----------------→ C

Podemos representar o ângulo simplesmente por:

$$\angle A$$

Essa representação é possível quando não há risco de confusão.

Quando existem vários ângulos com o mesmo vértice, é mais seguro utilizar três letras.

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Representação de um ângulo

Um ângulo pode ser representado pelo símbolo:

$$\angle$$

Por exemplo:

$$\angle ABC$$

Também podemos indicar sua medida utilizando:

$$m(\angle ABC)$$

ou simplesmente:

$$\angle ABC = 60^\circ$$

quando o contexto estiver claro.

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Medida de um ângulo

A medida de um ângulo indica o tamanho de sua abertura.

A unidade mais utilizada na Geometria é o grau, representado pelo símbolo:

$$^\circ$$

Por exemplo:

$$30^\circ$$ $$45^\circ$$ $$90^\circ$$ $$180^\circ$$

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Grau

Um giro completo corresponde a:

$$360^\circ$$

Podemos imaginar uma volta completa:

             ↑
             │
        ←────•────→
             │
             ↓

Uma volta completa representa:

$$\boxed{360^\circ}$$

A partir dessa ideia, podemos entender diferentes tipos de ângulos.

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Ângulo de uma volta

Quando uma semirreta realiza uma volta completa e retorna à sua posição inicial, temos:

$$360^\circ$$

Esse é chamado de ângulo completo ou ângulo de uma volta.

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Ângulo nulo

Quando as duas semirretas coincidem, não existe abertura entre elas.

Temos:

$$0^\circ$$

Esse é chamado de ângulo nulo.

Representação simplificada:

A •------------------------→

As duas semirretas possuem a mesma direção e o mesmo sentido.

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Ângulo agudo

Um ângulo é agudo quando sua medida é maior que $0^\circ$ e menor que $90^\circ$.

Portanto:

$$0^\circ < \theta < 90^\circ$$

Por exemplo:

$$30^\circ$$

ou:

$$60^\circ$$

Representação:

       /
      /
     /
    •────────→

A abertura é menor que um ângulo reto.

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Ângulo reto

Um ângulo é reto quando sua medida é exatamente:

$$90^\circ$$

Representação:

    │
    │
    │
    •────────→

O ângulo reto aparece frequentemente em situações envolvendo retas perpendiculares.

Se duas retas são perpendiculares:

$$r \perp s$$

elas formam quatro ângulos retos.

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Ângulo obtuso

Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior que $90^\circ$ e menor que $180^\circ$.

Portanto:

$$90^\circ < \theta < 180^\circ$$

Por exemplo:

$$120^\circ$$

ou:

$$150^\circ$$

Representação:

   \ 
    \ 
     \
      \
       •────────→

Sua abertura é maior que a de um ângulo reto, mas menor que a de um ângulo raso.

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Ângulo raso

Um ângulo é raso quando sua medida é exatamente:

$$180^\circ$$

As duas semirretas possuem sentidos opostos e estão sobre a mesma reta.

Representação:

←────────•────────→
          A

Assim:

$$\boxed{\theta=180^\circ}$$

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Classificação dos ângulos

Podemos organizar os principais tipos:

Tipo	Medida
Nulo	$0^\circ$
Agudo	$0^\circ < \theta < 90^\circ$
Reto	$\theta=90^\circ$
Obtuso	$90^\circ < \theta < 180^\circ$
Raso	$\theta=180^\circ$
Completo	$\theta=360^\circ$

Essa tabela será muito importante nos próximos conteúdos.

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Comparando aberturas

Considere alguns ângulos:

$$30^\circ,\quad 60^\circ,\quad 90^\circ,\quad 120^\circ$$

Podemos classificá-los como:

$$30^\circ \rightarrow \text{agudo}$$ $$60^\circ \rightarrow \text{agudo}$$ $$90^\circ \rightarrow \text{reto}$$ $$120^\circ \rightarrow \text{obtuso}$$

Quanto maior a medida, maior é a abertura do ângulo, considerando ângulos entre $0^\circ$ e $180^\circ$.

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Ângulos e semirretas

É importante relacionar o conceito de ângulo ao conteúdo de semirretas.

Um ângulo é formado por duas semirretas que possuem a mesma origem.

Considere:

        B
       /
      /
     A •----------------→ C

Temos:

$$\overrightarrow{AB}$$

e:

$$\overrightarrow{AC}$$

Como ambas possuem origem em $A$, elas formam:

$$\angle BAC$$

Portanto:

Duas semirretas de mesma origem formam um ângulo.

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Ângulo e abertura

Podemos imaginar o ângulo como a abertura existente entre seus dois lados.

Por exemplo:

        /
       /
      /
     •────────────→

A região entre as duas semirretas representa a abertura do ângulo.

Quanto maior essa abertura, maior será a medida do ângulo, quando estamos considerando ângulos entre $0^\circ$ e $180^\circ$.

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Exemplo 1

Considere:

        B
       /
      /
     A •----------------→ C

Qual é o vértice do ângulo $\angle BAC$?

Ver solução

Resolução

Na representação de um ângulo com três letras, a letra central representa o vértice.

Temos:

$$\angle BAC$$

A letra central é $A$.

Portanto:

$$\boxed{A}$$

é o vértice.

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Exemplo 2

Qual é a classificação de um ângulo cuja medida é $45^\circ$?

Ver solução

Resolução

Um ângulo agudo possui medida maior que $0^\circ$ e menor que $90^\circ$.

Como:

$$0^\circ < 45^\circ < 90^\circ$$

o ângulo é agudo.

Portanto:

$$\boxed{\text{ângulo agudo}}$$

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Exemplo 3

Classifique o ângulo de medida $90^\circ$.

Ver solução

Resolução

Um ângulo reto possui exatamente $90^\circ$.

Como:

$$\theta=90^\circ$$

temos:

$$\boxed{\text{ângulo reto}}$$

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Exemplo 4

Classifique o ângulo de medida $135^\circ$.

Ver solução

Resolução

Um ângulo obtuso possui medida maior que $90^\circ$ e menor que $180^\circ$.

Como:

$$90^\circ < 135^\circ < 180^\circ$$

o ângulo é obtuso.

Portanto:

$$\boxed{\text{ângulo obtuso}}$$

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Exemplo 5

Qual é a medida de um ângulo formado por duas semirretas que possuem sentidos opostos e estão sobre a mesma reta?

Ver solução

Resolução

Quando duas semirretas possuem a mesma origem, estão sobre a mesma reta e possuem sentidos opostos, formam um ângulo raso.

A medida de um ângulo raso é:

$$\boxed{180^\circ}$$

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🧠 Resumo

• Um ângulo é formado por duas semirretas que possuem a mesma origem.
• O ponto comum às duas semirretas é o vértice.
• As duas semirretas são os lados do ângulo.
• Em uma representação com três letras, a letra do meio representa o vértice.
• A unidade mais utilizada para medir ângulos é o grau.
• Uma volta completa mede:

$$360^\circ$$

• Ângulo nulo:

$$0^\circ$$

• Ângulo agudo:

$$0^\circ < \theta < 90^\circ$$

• Ângulo reto:

$$\theta=90^\circ$$

• Ângulo obtuso:

$$90^\circ < \theta < 180^\circ$$

• Ângulo raso:

$$\theta=180^\circ$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Um ângulo é formado por:

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🧩 Exercício 2 Fácil

Na representação $\angle ABC$, qual ponto representa o vértice do ângulo?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Qual é a medida de um ângulo reto?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Um ângulo mede $35^\circ$. Como ele é classificado?

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🧩 Exercício 5 Fácil

Um ângulo mede $120^\circ$. Como ele é classificado?

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🧩 Exercício 6 Médio

Qual é a medida de um ângulo raso?

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🧩 Exercício 7 Médio

Qual das alternativas representa corretamente a condição para um ângulo ser agudo?

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🧩 Exercício 8 Médio

Considere duas semirretas $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ com a mesma origem $A$. Qual ângulo é formado por essas semirretas?

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🧩 Exercício 9 Médio

Uma volta completa corresponde a quantos graus?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos a classificação dos ângulos, aprofundando os conceitos de ângulos nulo, agudo, reto, obtuso, raso e completo.