Equações Irracionais

🧩 Exercício 1 Fácil

Determine o valor de $x$:

$$x= \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}} - \sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\cdots}}}}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Observe que os dois radicais são infinitos e repetitivos.

Chame o primeiro radical de $a$ e o segundo de $b$. Como as expressões se repetem indefinidamente, será possível escrever uma equação para cada uma delas.

Ideia principal

Temos duas expressões infinitas:

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$$

e

$$\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\cdots}}}.$$

A ideia é atribuir uma variável a cada radical e aproveitar o fato de que a expressão se repete.

---

Passo 1 — Primeiro radical

Definimos:

$$a=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}.$$

Observe que, depois do primeiro $2+$, aparece novamente exatamente a mesma expressão.

Portanto:

$$a=\sqrt{2+a}.$$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$$a^2=2+a.$$

Reorganizando:

$$a^2-a-2=0.$$

Fatorando:

$$(a-2)(a+1)=0.$$

Assim:

$$a=2$$

ou

$$a=-1.$$

Como $a$ representa uma raiz quadrada, temos necessariamente:

$$a\geq0.$$

Portanto:

$$\boxed{a=2}.$$

---

Passo 2 — Segundo radical

Agora definimos:

$$b=\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6\cdots}}}.$$

Novamente, podemos observar a repetição da expressão.

Assim:

$$b=\sqrt{6b}.$$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$$b^2=6b.$$

Logo:

$$b^2-6b=0.$$

Colocando $b$ em evidência:

$$b(b-6)=0.$$

Portanto:

$$b=0$$

ou

$$b=6.$$

Como o radical infinito é positivo, temos:

$$\boxed{b=6}.$$

---

Passo 3 — Calculando $x$

Pela definição do problema:

$$x=a-b.$$

Como:

$$a=2$$

e

$$b=6,$$

temos:

$$x=2-6.$$

Portanto:

$$\boxed{x=-4}.$$

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Resultado

O valor de $x$ é:

$$\boxed{-4}.$$

🧩 Exercício 2 Médio

Determine o valor de $x$ que satisfaz a equação

$$\sqrt{x} = \frac{1}{ \sqrt{x}+ \frac{1}{ \sqrt{x}+ \frac{1}{ \sqrt{x}+\cdots } } }.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Observe que a expressão que aparece repetidamente no denominador pode ser representada por uma única variável.

Chame essa expressão de $a$ e procure uma relação entre $a$ e $\sqrt{x}$.

Ideia principal

A expressão possui uma estrutura infinita e repetitiva.

Vamos chamar de $a$ a expressão que aparece no denominador:

$$a= \sqrt{x}+ \frac{1}{ \sqrt{x}+ \frac{1}{ \sqrt{x}+\cdots } }.$$

A partir dessa definição, podemos transformar a expressão infinita em uma equação.

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Passo 1 — Encontrando uma relação para $a$

Observe que, depois do primeiro $\sqrt{x}$, aparece novamente a mesma expressão $a$.

Portanto:

$$a=\sqrt{x}+\frac{1}{a}.$$

Por outro lado, a equação original afirma que:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{a}.$$

Logo:

$$\frac{1}{a}=\sqrt{x}.$$

Substituindo essa relação na expressão de $a$:

$$a=\sqrt{x}+\sqrt{x}.$$

Assim:

$$a=2\sqrt{x}.$$

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Passo 2 — Usando novamente a equação original

Já sabemos que:

$$\sqrt{x}=\frac{1}{a}.$$

Como:

$$a=2\sqrt{x},$$

podemos substituir:

$$\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Multiplicando ambos os lados por $2\sqrt{x}$:

$$2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=1.$$

Como:

$$\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=x,$$

temos:

$$2x=1.$$

Portanto:

$$\boxed{x=\frac12}.$$

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Resultado

O valor de $x$ é:

$$\boxed{\frac12}.$$

🧩 Exercício 3 (CN 1994)Médio

Se $\alpha$ e $\beta$ são as raízes da equação

$$x^2+x-1=0,$$

determine a soma dos cubos das raízes:

$$\alpha^3+\beta^3.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Use a própria equação

$$x^2+x-1=0$$

para obter uma relação envolvendo $x^3$.

Depois, aplique essa relação às duas raízes e some os resultados.

Ideia principal

Não precisamos calcular explicitamente as raízes da equação.

A ideia é usar a própria equação para construir uma relação de recorrência entre as potências das raízes.

Se $\alpha$ é uma raiz, então:

$$\alpha^2+\alpha-1=0.$$

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Passo 1 — Encontrando uma relação para $\alpha^3$

Multiplicando a equação por $\alpha$:

$$\alpha^3+\alpha^2-\alpha=0.$$

Da equação original:

$$\alpha^2+\alpha-1=0,$$

temos:

$$\alpha^2=1-\alpha.$$

Substituindo:

$$\alpha^3+(1-\alpha)-\alpha=0.$$

Logo:

$$\alpha^3-2\alpha+1=0.$$

Portanto:

$$\boxed{\alpha^3=2\alpha-1}.$$

---

Passo 2 — Fazendo o mesmo para $\beta$

Como $\beta$ também é raiz da equação

$$x^2+x-1=0,$$

o mesmo raciocínio vale para $\beta$:

$$\boxed{\beta^3=2\beta-1}.$$

Somando as duas relações:

$$\alpha^3+\beta^3 = 2\alpha-1+2\beta-1.$$

Assim:

$$\alpha^3+\beta^3 = 2(\alpha+\beta)-2.$$

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Passo 3 — Usando a soma das raízes

Pelas relações de Girard, para

$$x^2+x-1=0,$$

temos:

$$\alpha+\beta=-1$$

e

$$\alpha\beta=-1.$$

Portanto:

$$\alpha^3+\beta^3 = 2(-1)-2.$$

Logo:

$$\boxed{\alpha^3+\beta^3=-4}.$$

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Uma ideia mais geral — Somas de Newton

O raciocínio acima pode ser generalizado.

Como toda raiz $r$ da equação satisfaz

$$r^2+r-1=0,$$

podemos multiplicar essa igualdade por $r^{n-2}$:

$$r^n+r^{n-1}-r^{n-2}=0.$$

Portanto:

$$\boxed{r^n=r^{n-2}-r^{n-1}}.$$

Agora definimos:

$$S_n=\alpha^n+\beta^n.$$

Aplicando a relação às duas raízes e somando:

$$\alpha^n+\beta^n = \alpha^{n-2}+\beta^{n-2} - \alpha^{n-1}-\beta^{n-1}.$$

Assim:

$$\boxed{S_n=S_{n-2}-S_{n-1}}.$$

Essa é uma recorrência para as somas das potências das raízes, relacionada às Somas de Newton.

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Aplicando a recorrência nesta questão

Sabemos que:

$$S_1=\alpha+\beta=-1.$$

Além disso:

$$S_2=\alpha^2+\beta^2.$$

Usando

$$\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta,$$

e sabendo que

$$\alpha+\beta=-1$$

e

$$\alpha\beta=-1,$$

temos:

$$S_2=(-1)^2-2(-1).$$

Logo:

$$S_2=3.$$

A recorrência é:

$$S_n=S_{n-2}-S_{n-1}.$$

Para $n=3$:

$$S_3=S_1-S_2.$$

Portanto:

$$S_3=-1-3=-4.$$

Assim:

$$\boxed{S_3=-4}.$$

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Resultado

A soma dos cubos das raízes é:

$$\boxed{-4}.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{(B) }-4}.$$

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Insight

A grande sacada é que não precisamos encontrar as raízes.

A equação

$$x^2+x-1=0$$

já nos fornece uma relação entre suas potências.

Para uma raiz $r$:

$$r^n=r^{n-2}-r^{n-1}.$$

Consequentemente, as somas

$$S_n=\alpha^n+\beta^n$$

também obedecem à recorrência:

$$\boxed{S_n=S_{n-2}-S_{n-1}}.$$

Isso se torna especialmente útil quando a questão pede potências muito maiores das raízes.

🧩 Exercício 4 Médio

Calcule a soma dos cubos das raízes da equação

$$x^3+9x-10=0.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ as raízes.

Use a mesma ideia da questão anterior: em vez de calcular as raízes, procure uma relação que permita obter

$$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$$

diretamente a partir dos coeficientes da equação.

Ideia principal

Sejam $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ as raízes da equação

$$x^3+9x-10=0.$$

Queremos calcular:

$$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3.$$

Assim como na questão anterior, vamos usar uma Soma de Newton.

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Passo 1 — Relação para cada raiz

Como $\alpha$ é uma raiz, temos:

$$\alpha^3+9\alpha-10=0.$$

Logo:

$$\alpha^3=-9\alpha+10.$$

Da mesma forma, para $\beta$ e $\gamma$:

$$\beta^3=-9\beta+10$$

e

$$\gamma^3=-9\gamma+10.$$

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Passo 2 — Somando as três relações

Somando:

$$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -9(\alpha+\beta+\gamma)+30.$$

Pelas relações de Girard, para a equação

$$x^3+9x-10=0,$$

a soma das raízes é:

$$\alpha+\beta+\gamma=0.$$

Portanto:

$$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = -9(0)+30.$$

Assim:

$$\boxed{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=30}.$$

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Resultado

A soma dos cubos das raízes é:

$$\boxed{30}.$$

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Insight — Soma de Newton

Na questão anterior, trabalhamos com uma equação de segundo grau e encontramos uma recorrência para as somas das potências das raízes.

Aqui acontece algo semelhante.

Para uma raiz $r$ da equação

$$r^3+9r-10=0,$$

temos diretamente:

$$r^3=-9r+10.$$

Somando essa relação para todas as raízes, conseguimos calcular a soma dos cubos sem precisar descobrir nenhuma delas.

Essa é uma das grandes vantagens das Somas de Newton: podemos calcular somas como

$$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$$

diretamente a partir dos coeficientes do polinômio.

🧩 Exercício 5 Fácil

Resolva a equação:

$$\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}=2.$$

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Observe que, para $x>0$,

$$\sqrt{\frac{1}{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Depois, faça uma substituição:

$$a=\sqrt{x}.$$

Ideia principal

Temos a equação:

$$\sqrt{x}+\sqrt{\frac{1}{x}}=2.$$

Como existe uma raiz no denominador, precisamos ter:

$$x>0.$$

Assim:

$$\sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}.$$

Logo, a equação pode ser escrita como:

$$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=2.$$

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Passo 1 — Fazendo uma substituição

Para simplificar a expressão, vamos definir:

$$a=\sqrt{x}.$$

Como $x>0$, temos $a>0$.

A equação se transforma em:

$$a+\frac{1}{a}=2.$$

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Passo 2 — Eliminando o denominador

Multiplicando toda a equação por $a$:

$$a^2+1=2a.$$

Reorganizando:

$$a^2-2a+1=0.$$

Reconhecemos um trinômio quadrado perfeito:

$$(a-1)^2=0.$$

Portanto:

$$a=1.$$

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Passo 3 — Voltando para $x$

Como definimos:

$$a=\sqrt{x},$$

temos:

$$\sqrt{x}=1.$$

Elevando ao quadrado:

$$x=1.$$

Portanto:

$$\boxed{x=1}.$$

---

Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }1}.$$

🧩 Exercício 6 Fácil

Resolva o sistema:

$$\begin{cases} x-y=16\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2 \end{cases}$$

💡 Dica — clique para visualizar

Faça a substituição:

$$a=\sqrt{x} \qquad\text{e}\qquad b=\sqrt{y}.$$

Depois, use a diferença de quadrados:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Ideia principal

O sistema é:

$$\begin{cases} x-y=16\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2. \end{cases}$$

Como aparecem simultaneamente $x$, $y$ e suas raízes quadradas, podemos simplificar o sistema fazendo uma substituição.

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Passo 1 — Fazendo a substituição

Definimos:

$$a=\sqrt{x} \qquad\text{e}\qquad b=\sqrt{y}.$$

Então:

$$x=a^2 \qquad\text{e}\qquad y=b^2.$$

Substituindo no sistema:

$$\begin{cases} a^2-b^2=16\\ a-b=2. \end{cases}$$

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Passo 2 — Usando a diferença de quadrados

Sabemos que:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Portanto:

$$(a-b)(a+b)=16.$$

Mas a segunda equação já nos informa que:

$$a-b=2.$$

Assim:

$$2(a+b)=16.$$

Logo:

$$a+b=8.$$

Agora temos o sistema:

$$\begin{cases} a-b=2\\ a+b=8. \end{cases}$$

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Passo 3 — Encontrando $a$ e $b$

Somando as duas equações:

$$(a-b)+(a+b)=2+8.$$

Então:

$$2a=10.$$

Logo:

$$a=5.$$

Como:

$$a-b=2,$$

temos:

$$5-b=2,$$

portanto:

$$b=3.$$

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Passo 4 — Voltando para $x$ e $y$

Lembrando que:

$$a=\sqrt{x},$$

temos:

$$\sqrt{x}=5.$$

Logo:

$$x=25.$$

Da mesma forma:

$$b=\sqrt{y}=3,$$

portanto:

$$y=9.$$

Assim, a solução do sistema é:

$$\boxed{(x,y)=(25,9)}.$$

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Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }(25,9)}.$$

🧩 Exercício 7 (CN 1988)Médio

A solução da equação abaixo é:

$$\sqrt{2+\sqrt[3]{3x-1}}+\sqrt[3]{3x-1}=4.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Faça a substituição:

$$a=\sqrt[3]{3x-1}.$$

Depois, isole a raiz quadrada e eleve os dois lados ao quadrado.

Lembre-se de verificar as condições da equação após encontrar os possíveis valores de $a$.

Ideia principal

A equação possui uma raiz cúbica que aparece repetidamente. Por isso, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão.

Definimos:

$$a=\sqrt[3]{3x-1}.$$

Assim, a equação se transforma em:

$$\sqrt{2+a}+a=4.$$

---

Passo 1 — Isolando a raiz

Temos:

$$\sqrt{2+a}=4-a.$$

Como o lado esquerdo é uma raiz quadrada, ele é sempre não negativo. Portanto, precisamos ter:

$$4-a\geq0.$$

Ou seja:

$$a\leq4.$$

Agora podemos elevar os dois lados ao quadrado:

$$2+a=(4-a)^2.$$

---

Passo 2 — Desenvolvendo a equação

Desenvolvendo o quadrado:

$$2+a=16-8a+a^2.$$

Reorganizando:

$$a^2-9a+14=0.$$

Fatorando:

$$(a-2)(a-7)=0.$$

Logo:

$$a=2$$

ou

$$a=7.$$

---

Passo 3 — Verificando as soluções

Lembramos que:

$$a\leq4.$$

Portanto, o valor

$$a=7$$

não pode ser solução.

Assim:

$$\boxed{a=2}.$$

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Passo 4 — Voltando para $x$

Como definimos:

$$a=\sqrt[3]{3x-1},$$

temos:

$$\sqrt[3]{3x-1}=2.$$

Elevando os dois lados ao cubo:

$$3x-1=8.$$

Então:

$$3x=9.$$

Logo:

$$\boxed{x=3}.$$

---

Resultado

A solução da equação é:

$$\boxed{x=3}.$$

🧩 Exercício 8 Médio

Resolva a equação:

$$\sqrt{\frac{3x-4}{x-5}} + \sqrt{\frac{x-5}{3x-4}} = \frac{5}{2}.$$

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Observe que os dois radicais são recíprocos.

Faça:

$$a=\sqrt{\frac{3x-4}{x-5}}.$$

Então o segundo radical será:

$$\frac{1}{a}.$$

A equação ficará muito mais simples.

Ideia principal

Temos:

$$\sqrt{\frac{3x-4}{x-5}} + \sqrt{\frac{x-5}{3x-4}} = \frac52.$$

Observe que as expressões dentro das raízes são recíprocas.

Vamos fazer a substituição:

$$a=\sqrt{\frac{3x-4}{x-5}}.$$

Como $a$ é uma raiz quadrada, temos $a>0$.

Além disso:

$$\sqrt{\frac{x-5}{3x-4}} = \frac1a.$$

Portanto, a equação se transforma em:

$$a+\frac1a=\frac52.$$

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Passo 1 — Resolvendo a equação em $a$

Multiplicando toda a equação por $2a$:

$$2a^2+2=5a.$$

Reorganizando:

$$2a^2-5a+2=0.$$

Fatorando:

$$(2a-1)(a-2)=0.$$

Logo:

$$a=\frac12 \qquad\text{ou}\qquad a=2.$$

Agora precisamos voltar para $x$ em cada caso.

---

Passo 2 — Primeiro caso: $a=2$

Temos:

$$\sqrt{\frac{3x-4}{x-5}}=2.$$

Elevando os dois lados ao quadrado:

$$\frac{3x-4}{x-5}=4.$$

Multiplicando:

$$3x-4=4(x-5).$$

Então:

$$3x-4=4x-20.$$

Logo:

$$x=16.$$

---

Passo 3 — Segundo caso: $a=\frac12$

Agora:

$$\sqrt{\frac{3x-4}{x-5}}=\frac12.$$

Elevando ao quadrado:

$$\frac{3x-4}{x-5}=\frac14.$$

Multiplicando por $4(x-5)$:

$$4(3x-4)=x-5.$$

Assim:

$$12x-16=x-5.$$

Portanto:

$$11x=11$$

e:

$$x=1.$$

---

Passo 4 — Verificando as soluções

Para $x=1$:

$$\frac{3(1)-4}{1-5} = \frac{-1}{-4} = \frac14,$$

portanto os radicais estão definidos.

Para $x=16$:

$$\frac{3(16)-4}{16-5} = \frac{44}{11} = 4,$$

também está definido.

Logo, as duas soluções são válidas.

---

Resultado

As soluções da equação são:

$$\boxed{x=1\quad\text{ou}\quad x=16}.$$

Portanto, a resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }x=1\text{ ou }x=16}.$$

🧩 Exercício 9 Médio

Se

$$\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+8}} + \sqrt[3]{n-\sqrt{n^2+8}} =8,$$

onde $n$ é um inteiro, então o valor de $n$ é:

💡 Dica — clique para visualizar

Chame as duas raízes cúbicas de $A$ e $B$.

Você terá:

$$A+B=8.$$

Depois, calcule $A^3+B^3$ e $AB$.

Por fim, use a identidade:

$$(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B).$$

Ideia principal

A expressão possui duas raízes cúbicas semelhantes. Vamos substituí-las por letras para simplificar os cálculos.

Definimos:

$$A=\sqrt[3]{n+\sqrt{n^2+8}}$$

e

$$B=\sqrt[3]{n-\sqrt{n^2+8}}.$$

A equação original passa a ser simplesmente:

$$A+B=8.$$

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Passo 1 — Calculando $A^3+B^3$

Pela definição de $A$ e $B$:

$$A^3=n+\sqrt{n^2+8}$$

e

$$B^3=n-\sqrt{n^2+8}.$$

Somando as duas expressões:

$$A^3+B^3 = n+\sqrt{n^2+8} + n-\sqrt{n^2+8}.$$

Portanto:

$$\boxed{A^3+B^3=2n}.$$

---

Passo 2 — Calculando $AB$

Primeiro, vamos calcular o cubo do produto:

$$(AB)^3=A^3B^3.$$

Substituindo as expressões de $A^3$ e $B^3$:

$$(AB)^3 = \left(n+\sqrt{n^2+8}\right) \left(n-\sqrt{n^2+8}\right).$$

Usando o produto da soma pela diferença:

$$(AB)^3 = n^2-(n^2+8).$$

Assim:

$$(AB)^3=-8.$$

Logo:

$$\boxed{AB=-2}.$$

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Passo 3 — Usando o cubo da soma

Agora já conhecemos:

$$A+B=8,$$$$A^3+B^3=2n$$

e

$$AB=-2.$$

Usamos a identidade:

$$(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B).$$

Substituindo:

$$8^3=2n+3(-2)(8).$$

Calculando:

$$512=2n-48.$$

Portanto:

$$2n=560.$$

Logo:

$$\boxed{n=280}.$$

---

Resultado

O valor de $n$ é:

$$\boxed{280}.$$

Portanto, a resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }280}.$$