Funções Pares, Ímpares e Monotonicidade

🧩 Exercício 1 Fácil

Classifique as funções abaixo em par ou ímpar.

A) $f(x)=x^3$

B) $f(x)=\frac{1}{x^2}$

C) $f(x)=x^2+2x$

Para classificar uma função, calculamos $f(-x)$.

Uma função é par quando:

$$f(-x)=f(x).$$

Uma função é ímpar quando:

$$f(-x)=-f(x).$$

A) $f(x)=x^3$

Temos:

$$f(-x)=(-x)^3=-x^3.$$

Como:

$$f(-x)=-f(x),$$

concluímos que $f$ é ímpar.

$$\boxed{\text{A) Ímpar}}$$

B) $f(x)=\frac{1}{x^2}$

Temos:

$$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2} =\frac{1}{x^2}.$$

Portanto:

$$f(-x)=f(x).$$

Logo, $f$ é par.

$$\boxed{\text{B) Par}}$$

C) $f(x)=x^2+2x$

Calculando $f(-x)$:

$$f(-x)=(-x)^2+2(-x) =x^2-2x.$$

Observe que:

$$x^2-2x\neq x^2+2x$$

e também:

$$x^2-2x\neq -(x^2+2x).$$

Portanto, a função não é par nem ímpar.

$$\boxed{\text{C) Nem par nem ímpar}}$$

🧩 Exercício 2 Fácil

Verifique que

$$f(x)=ax+b$$

é crescente para $a>0$.

Considere dois números reais $x_1$ e $x_2$, com:

$$x_1<x_2.$$

Como $a>0$, ao multiplicarmos a desigualdade por $a$, o sentido permanece:

$$ax_1<ax_2.$$

Somando $b$ aos dois lados:

$$ax_1+b<ax_2+b.$$

Como:

$$f(x_1)=ax_1+b$$

e

$$f(x_2)=ax_2+b,$$

temos:

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Portanto, quando $x_1<x_2$, temos $f(x_1)<f(x_2)$.

Logo,

$$\boxed{f(x)=ax+b\text{ é crescente para }a>0.}$$

🧩 Exercício 3 Fácil

Verifique que

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

é decrescente em $\mathbb{R}_+^*$.

Considere dois números positivos $x_1$ e $x_2$, com:

$$0<x_1<x_2.$$

Como ambos são positivos, podemos multiplicar a desigualdade por $x_1x_2>0$:

$$x_2<x_1.$$

Dividindo por $x_1x_2$, obtemos:

$$\frac{1}{x_1}>\frac{1}{x_2}.$$

Como:

$$f(x_1)=\frac{1}{x_1}$$

e

$$f(x_2)=\frac{1}{x_2},$$

temos:

$$f(x_1)>f(x_2).$$

Portanto, quando $x_1<x_2$, temos $f(x_1)>f(x_2)$.

Logo,

$$\boxed{f(x)=\frac1x\text{ é estritamente decrescente em }\mathbb{R}_+^*.}$$

🧩 Exercício 4 Médio

Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função tal que:

$$f(a+b)=f(a)-f(b), \qquad \forall a,b\in\mathbb{R}.$$

Julgue os itens:

A) $f(0)=0$.

B) $f$ é ímpar.

A) $f(0)=0$

Na relação:

$$f(a+b)=f(a)-f(b),$$

faça $a=0$ e $b=0$:

$$f(0+0)=f(0)-f(0).$$

Assim:

$$f(0)=0.$$

Portanto, o item A é verdadeiro.

B) $f$ é ímpar

Sabemos que:

$$f(0)=0.$$

Agora, na relação original, fazemos:

$$a=x$$

e

$$b=-x.$$

Então:

$$f(x+(-x))=f(x)-f(-x).$$

Logo:

$$f(0)=f(x)-f(-x).$$

Como $f(0)=0$:

$$0=f(x)-f(-x).$$

Portanto:

$$f(-x)=f(x).$$

Isso mostra que $f$ é par, e não ímpar.

Assim, o item B é falso.

$$\boxed{\text{A) Verdadeiro}}$$$$\boxed{\text{B) Falso}}$$

🧩 Exercício 5 Médio

A função

$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$

é estritamente decrescente.

Qual é o conjunto de números reais que satisfazem a condição:

$$f(3x+2)>f(2x+5)?$$

Como $f$ é estritamente decrescente, valores maiores na entrada produzem valores menores na saída.

Portanto:

$$f(a)>f(b) \iff a<b.$$

Na nossa desigualdade:

$$f(3x+2)>f(2x+5),$$

podemos comparar diretamente os argumentos, invertendo a desigualdade:

$$3x+2<2x+5.$$

Subtraindo $2x$ dos dois lados:

$$x+2<5.$$

Subtraindo $2$:

$$x<3.$$

Logo, o conjunto solução é:

$$\boxed{x<3}.$$

Em forma de intervalo:

$$\boxed{(-\infty,3)}.$$

🧩 Exercício 6 ITA-2010Médio

Sejam $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tais que $f$ é par e $g$ é ímpar.

Das seguintes afirmações:

I. $f\cdot g$ é ímpar;

II. $f\circ g$ é par;

III. $g\circ f$ é ímpar.

É(são) verdadeira(s):

Vamos analisar cada afirmação usando as definições de funções pares e ímpares.

Uma função $f$ é par quando:

$$f(-x)=f(x).$$

Uma função $g$ é ímpar quando:

$$g(-x)=-g(x).$$

I. $f\cdot g$ é ímpar

Temos:

$$(f\cdot g)(x)=f(x)g(x).$$

Calculando em $-x$:

$$(f\cdot g)(-x) = f(-x)g(-x).$$

Como $f$ é par e $g$ é ímpar:

$$f(-x)=f(x)$$

e

$$g(-x)=-g(x).$$

Logo:

$$(f\cdot g)(-x) = f(x)(-g(x)) = -f(x)g(x).$$

Portanto:

$$(f\cdot g)(-x)=-(f\cdot g)(x).$$

Assim, $f\cdot g$ é ímpar.

I é verdadeira.

II. $f\circ g$ é par

Por definição:

$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$

Calculando em $-x$:

$$(f\circ g)(-x) = f(g(-x)).$$

Como $g$ é ímpar:

$$g(-x)=-g(x).$$

Então:

$$(f\circ g)(-x) = f(-g(x)).$$

Como $f$ é par:

$$f(-g(x))=f(g(x)).$$

Logo:

$$(f\circ g)(-x) = (f\circ g)(x).$$

Portanto, $f\circ g$ é par.

II é verdadeira.

III. $g\circ f$ é ímpar

Temos:

$$(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$

Calculando em $-x$:

$$(g\circ f)(-x) = g(f(-x)).$$

Como $f$ é par:

$$f(-x)=f(x).$$

Portanto:

$$(g\circ f)(-x) = g(f(x)) = (g\circ f)(x).$$

Logo, $g\circ f$ é par, e não ímpar.

III é falsa.

Portanto, somente I e II são verdadeiras.

$$\boxed{\text{d) apenas I e II.}}$$

🧩 Exercício 7 AustráliaMédio

Uma sequência $a_1,a_2,a_3,\ldots$ é definida por

$$a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}}{a_n}, \qquad n\geq 1.$$

Dado que $a_1=2$ e $a_2=5$, qual é o valor de $a_{2002}$?

Vamos calcular alguns termos da sequência.

Sabemos que:

$$a_1=2,\qquad a_2=5.$$

Pela relação:

$$a_{n+2}=\frac{1+a_{n+1}}{a_n},$$

temos:

$$a_3=\frac{1+a_2}{a_1} =\frac{1+5}{2} =3.$$

Agora:

$$a_4=\frac{1+a_3}{a_2} =\frac{1+3}{5} =\frac45.$$

Depois:

$$a_5=\frac{1+a_4}{a_3} = \frac{1+\frac45}{3} = \frac{\frac95}{3} = \frac35.$$

Continuando:

$$a_6=\frac{1+a_5}{a_4} = \frac{1+\frac35}{\frac45} = \frac{\frac85}{\frac45} =2.$$

Percebemos que:

$$a_6=a_1=2.$$

E, consequentemente,

$$a_7=a_2=5,$$

pois a sequência volta a repetir os mesmos valores.

Assim, a sequência é periódica de período $5$:

$$2,\ 5,\ 3,\ \frac45,\ \frac35,\ 2,\ 5,\ 3,\ \frac45,\ \frac35,\ldots$$

Agora precisamos determinar a posição de $a_{2002}$ dentro desse ciclo.

Dividindo $2002$ por $5$:

$$2002=5\cdot400+2.$$

Logo, $a_{2002}$ ocupa a mesma posição que $a_2$ no ciclo.

Portanto:

$$\boxed{a_{2002}=5}.$$

🧩 Exercício 8 CESCEMFácil

Dizemos que uma função real é par se

$$f(x)=f(-x),$$

para todo $x$, e que é ímpar se

$$f(x)=-f(-x).$$

Das afirmativas que seguem, indique qual é a falsa.

Vamos verificar cada afirmação.

A) Produto de duas funções ímpares

Se $f$ e $g$ são ímpares:

$$f(-x)=-f(x)$$

e

$$g(-x)=-g(x).$$

Então:

$$(fg)(-x) = f(-x)g(-x).$$

Logo:

$$(fg)(-x) = [-f(x)][-g(x)] = f(x)g(x).$$

Portanto:

$$(fg)(-x)=(fg)(x).$$

Assim, o produto de duas funções ímpares é par, e não ímpar.

Portanto, a afirmação A é falsa.

B) Produto de duas funções pares

Se $f$ e $g$ são pares:

$$f(-x)=f(x)$$

e

$$g(-x)=g(x).$$

Então:

$$(fg)(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = (fg)(x).$$

Logo, o produto é par.

B é verdadeira.

C) Soma de duas funções ímpares

Se $f$ e $g$ são ímpares:

$$f(-x)=-f(x)$$

e

$$g(-x)=-g(x).$$

Então:

$$(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x)$$$$=-f(x)-g(x)$$$$=-(f(x)+g(x)).$$

Logo, $f+g$ é ímpar.

C é verdadeira.

D) Soma de duas funções pares

Se $f$ e $g$ são pares:

$$f(-x)=f(x)$$

e

$$g(-x)=g(x).$$

Então:

$$(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x)$$$$=f(x)+g(x).$$

Logo, $f+g$ é par.

D é verdadeira.

Portanto, a única afirmação falsa é:

$$\boxed{\text{a)}}$$