Trigonometria + Complexos

🧩 Exercício 1 Difícil

Utilizando os números complexos e o Binômio de Newton, determine uma fórmula geral para $\tan(nx)$ em função de $\tan x$.

Considere a identidade de De Moivre:

$$(\cos x+i\operatorname{sen}x)^n = \cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx).$$

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Escreva:

$$\cos x+i\operatorname{sen}x = \cos x(1+i\tan x).$$

Em seguida, eleve ambos os membros à potência $n$ e utilize o Binômio de Newton:

$$(1+i\tan x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (i\tan x)^k.$$

Separe a soma em duas partes:

• os termos de potência par de $i$, que formarão a parte real;
• os termos de potência ímpar de $i$, que formarão a parte imaginária.

Finalmente, compare as partes real e imaginária com:

$$\cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx).$$

Passo 1 — Aplicando a fórmula de De Moivre

Pela fórmula de De Moivre:

$$(\cos x+i\operatorname{sen}x)^n = \cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx).$$

Colocando $\cos x$ em evidência:

$$\cos x+i\operatorname{sen}x = \cos x(1+i\tan x).$$

Logo:

$$[\cos x(1+i\tan x)]^n = \cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx).$$

Portanto:

$$\cos^n x(1+i\tan x)^n = \cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx).$$

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Passo 2 — Aplicando o Binômio de Newton

Pelo Binômio de Newton:

$$(1+i\tan x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(i\tan x)^k.$$

Separando os termos de expoente par e ímpar:

$$\begin{aligned} (1+i\tan x)^n ={}& \left[ 1-\binom{n}{2}\tan^2x +\binom{n}{4}\tan^4x -\cdots \right] \\ &+ i\left[ n\tan x -\binom{n}{3}\tan^3x +\binom{n}{5}\tan^5x -\cdots \right]. \end{aligned}$$

Isso acontece porque:

$$i^{2k}=(-1)^k$$

e

$$i^{2k+1}=i(-1)^k.$$

Assim, podemos escrever:

$$(1+i\tan x)^n=A+iB,$$

onde

$$A= \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \tan^{2k}x$$

e

$$B= \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \tan^{2k+1}x.$$

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Passo 3 — Comparando as partes real e imaginária

Substituindo em:

$$\cos^n x(1+i\tan x)^n = \cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx),$$

temos:

$$\cos^n x(A+iB) = \cos(nx)+i\operatorname{sen}(nx).$$

Comparando as partes reais:

$$\cos(nx)=\cos^n x\,A.$$

Comparando as partes imaginárias:

$$\operatorname{sen}(nx)=\cos^n x\,B.$$

Portanto:

$$\tan(nx) = \frac{\operatorname{sen}(nx)} {\cos(nx)} = \frac{B}{A}.$$

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Passo 4 — Obtendo a fórmula geral

Substituindo $A$ e $B$:

$$\boxed{ \tan(nx) = \frac{ \displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k+1} \tan^{2k+1}x }{ \displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{2k} \tan^{2k}x } }.$$

Essa é a fórmula geral de $\tan(nx)$ em função de $\tan x$.

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Resultado

Assim, para qualquer inteiro positivo $n$:

$$\boxed{ \tan(nx) = \frac{ n\tan x -\binom n3\tan^3x +\binom n5\tan^5x -\cdots }{ 1-\binom n2\tan^2x +\binom n4\tan^4x -\cdots } }.$$

Por exemplo, para $n=3$:

$$\tan3x = \frac{3\tan x-\tan^3x} {1-3\tan^2x},$$

que é a conhecida fórmula da tangente do arco triplo.

🧩 Exercício 2 Difícil

Em um triângulo $ABC$, suponha que

$$A=\frac{\pi}{7},\qquad B=\frac{2\pi}{7},\qquad C=\frac{4\pi}{7}.$$

Determine o valor de

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{R^2},$$

onde $a$, $b$ e $c$ são os lados opostos aos ângulos $A$, $B$ e $C$, respectivamente, e $R$ é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.

💡 Dica — clique para visualizar

Utilize a relação entre os lados de um triângulo e o raio da circunferência circunscrita:

$$a=2R\operatorname{sen}A,\qquad b=2R\operatorname{sen}B,\qquad c=2R\operatorname{sen}C.$$

Em seguida, utilize:

$$\operatorname{sen}^2x=\frac{1-\cos2x}{2}.$$

Para calcular a soma

$$\cos\frac{2\pi}{7} +\cos\frac{4\pi}{7} +\cos\frac{6\pi}{7},$$

utilize números complexos e as raízes sétimas da unidade.

Passo 1 — Relacionando os lados com $R$

Pela relação entre um lado de um triângulo e o raio da circunferência circunscrita,

$$\boxed{a=2R\operatorname{sen}A}.$$

Da mesma forma:

$$b=2R\operatorname{sen}B$$

e

$$c=2R\operatorname{sen}C.$$

Portanto,

$$a^2+b^2+c^2 = 4R^2 \left( \operatorname{sen}^2A+ \operatorname{sen}^2B+ \operatorname{sen}^2C \right).$$

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Passo 2 — Transformando os quadrados dos senos

Vamos utilizar a identidade:

$$\operatorname{sen}^2x = \frac{1-\cos2x}{2}.$$

Para justificar essa identidade, partimos da fórmula:

$$\cos2x=\cos^2x-\operatorname{sen}^2x.$$

Como:

$$\cos^2x+\operatorname{sen}^2x=1,$$

podemos escrever:

$$\cos2x = (1-\operatorname{sen}^2x)-\operatorname{sen}^2x.$$

Logo:

$$\cos2x=1-2\operatorname{sen}^2x,$$

e, portanto,

$$\boxed{ \operatorname{sen}^2x= \frac{1-\cos2x}{2} }.$$

Aplicando essa identidade aos três ângulos:

$$\begin{aligned} a^2+b^2+c^2 &= 4R^2 \left[ \frac{1-\cos2A}{2} + \frac{1-\cos2B}{2} + \frac{1-\cos2C}{2} \right] \\[4pt] &= 2R^2 \left[ 3-(\cos2A+\cos2B+\cos2C) \right]. \end{aligned}$$

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Passo 3 — Substituindo os ângulos

Temos:

$$A=\frac{\pi}{7}, \qquad B=\frac{2\pi}{7}, \qquad C=\frac{4\pi}{7}.$$

Assim:

$$2A=\frac{2\pi}{7},$$$$2B=\frac{4\pi}{7},$$

e

$$2C=\frac{8\pi}{7}.$$

Como:

$$\cos\left(2\pi-\theta\right)=\cos\theta,$$

temos:

$$\cos\frac{8\pi}{7} = \cos\left(2\pi-\frac{6\pi}{7}\right) = \cos\frac{6\pi}{7}.$$

Portanto:

$$\cos2A+\cos2B+\cos2C = \cos\frac{2\pi}{7} +\cos\frac{4\pi}{7} +\cos\frac{6\pi}{7}.$$

Agora precisamos calcular essa soma.

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Passo 4 — Calculando a soma dos cossenos com números complexos

Considere a raiz sétima da unidade:

$$z=e^{\frac{2\pi i}{7}}.$$

Como:

$$z^7=1$$

e $z\neq1$, temos:

$$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0.$$

Podemos visualizar os termos dessa soma no círculo unitário:

$$z^4=\overline{z^3}, \qquad z^5=\overline{z^2}, \qquad z^6=\overline{z}.$$

Além disso, pela fórmula de Euler,

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta.$$

Assim:

$$z^k = \cos\frac{2k\pi}{7} +i\operatorname{sen}\frac{2k\pi}{7}.$$

Portanto, a soma das raízes pode ser agrupada em pares conjugados:

$$\begin{aligned} 0 &= 1+(z+z^6)+(z^2+z^5)+(z^3+z^4). \end{aligned}$$

Como um número complexo somado ao seu conjugado é duas vezes sua parte real,

$$z+\overline z=2\operatorname{Re}(z),$$

obtemos:

$$z+z^6 = 2\cos\frac{2\pi}{7},$$$$z^2+z^5 = 2\cos\frac{4\pi}{7},$$

e

$$z^3+z^4 = 2\cos\frac{6\pi}{7}.$$

Logo:

$$0= 1+ 2\cos\frac{2\pi}{7} + 2\cos\frac{4\pi}{7} + 2\cos\frac{6\pi}{7}.$$

Dividindo por $2$:

$$\boxed{ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac12 }.$$

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Passo 5 — Substituindo na expressão dos lados

Voltamos a:

$$a^2+b^2+c^2 = 2R^2 \left[ 3-(\cos2A+\cos2B+\cos2C) \right].$$

Como:

$$\cos2A+\cos2B+\cos2C=-\frac12,$$

temos:

$$a^2+b^2+c^2 = 2R^2 \left[ 3-\left(-\frac12\right) \right].$$

Logo:

$$a^2+b^2+c^2 = 2R^2\left(\frac72\right).$$

Portanto:

$$a^2+b^2+c^2=7R^2.$$

Dividindo por $R^2$:

$$\boxed{ \frac{a^2+b^2+c^2}{R^2}=7 }.$$

Resultado

$$\boxed{7}$$

🧩 Exercício 3 Médio

Calcule o valor de:

$$\cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7}.$$

💡 Dica — clique para visualizar

Considere $z$ uma raiz sétima da unidade diferente de $1$:

$$z^7=1.$$

Utilize a relação:

$$z+\frac{1}{z}=2\cos x.$$

Observe que as raízes da unidade podem ser agrupadas em pares conjugados, permitindo escrever a soma em termos de cossenos.

Passo 1 — Considerando as raízes sétimas da unidade

Seja

$$z=e^{\frac{2\pi i}{7}}.$$

Então:

$$z^7=1$$

e $z\neq1$.

As raízes da equação

$$x^7=1$$

são:

$$1,\ z,\ z^2,\ z^3,\ z^4,\ z^5,\ z^6.$$

Como $z$ é uma raiz diferente de $1$, temos:

$$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=0.$$

Logo:

$$z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=-1.$$

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Passo 2 — Reescrevendo os termos

Como

$$z^7=1,$$

podemos escrever:

$$z^4=z^{-3}=\frac{1}{z^3},$$$$z^5=z^{-2}=\frac{1}{z^2},$$

e

$$z^6=z^{-1}=\frac{1}{z}.$$

Assim:

$$z+\frac{1}{z} + z^2+\frac{1}{z^2} + z^3+\frac{1}{z^3} =-1.$$

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Passo 3 — Fazendo aparecer os cossenos

Pela relação

$$z+\frac{1}{z}=2\cos x,$$

e como

$$z=e^{\frac{2\pi i}{7}},$$

temos:

$$z+\frac{1}{z} = 2\cos\frac{2\pi}{7}.$$

Da mesma forma,

$$z^2+\frac{1}{z^2} = 2\cos\frac{4\pi}{7}$$

e

$$z^3+\frac{1}{z^3} = 2\cos\frac{6\pi}{7}.$$

Portanto:

$$2\cos\frac{2\pi}{7} + 2\cos\frac{4\pi}{7} + 2\cos\frac{6\pi}{7} =-1.$$

Dividindo por $2$:

$$\boxed{ \cos\frac{2\pi}{7} + \cos\frac{4\pi}{7} + \cos\frac{6\pi}{7} = -\frac12 }.$$

Resultado

$$\boxed{-\frac12}$$