ITA 2026

🧩 Exercício 1 ITAMédio

Sejam $z,w\in\mathbb{C}$ tais que

$$z-w=-2\sqrt{3}$$

e $z\neq w$. Se $z$ tem módulo $2\sqrt{3}$ e $w$ tem argumento $\frac{\pi}{6}$, então a parte real de $z$ é igual a:

1. Representando o número complexo $w$

Sabemos que $w$ tem argumento $\frac{\pi}{6}$. Portanto, podemos escrevê-lo na forma trigonométrica:

$$w=r\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\operatorname{sen}\frac{\pi}{6}\right),$$

em que $r=|w|>0$.

Como

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \qquad\text{e}\qquad \operatorname{sen}\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

temos

$$w=\frac{\sqrt{3}}{2}r+\frac{r}{2}i.$$

2. Determinando $z$

Da condição

$$z-w=-2\sqrt{3},$$

isolamos $z$:

$$z=w-2\sqrt{3}.$$

Substituindo a expressão de $w$:

$$z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r-2\sqrt{3}\right)+\frac{r}{2}i.$$

3. Utilizando o módulo de $z$

O módulo de um número complexo $z=a+bi$ é dado por

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Como $|z|=2\sqrt{3}$, temos

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r-2\sqrt{3}\right)^2 +\left(\frac{r}{2}\right)^2=12.$$

Desenvolvendo os quadrados:

$$\frac34r^2-6r+12+\frac14r^2=12.$$

Somando os termos semelhantes:

$$r^2-6r+12=12.$$

Logo,

$$r^2-6r=0.$$

Fatorando:

$$r(r-6)=0.$$

Como $r=|w|>0$, descartamos $r=0$. Portanto,

$$r=6.$$

4. Calculando a parte real de $z$

A parte real de $z$ é

$$\operatorname{Re}(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}r-2\sqrt{3}.$$

Substituindo $r=6$:

$$\operatorname{Re}(z) =\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot6-2\sqrt{3}.$$$$\operatorname{Re}(z)=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}.$$

Assim,

$$\boxed{\operatorname{Re}(z)=\sqrt{3}}.$$

Resposta

Alternativa D) $\sqrt{3}$.

🧩 Exercício 2 ITAMédio

Usando os valores aproximados

$$\log_{45}13{,}72=0{,}6880$$

e

$$\log_{45}6125=2{,}2908,$$

a alternativa que mais se aproxima da representação decimal de $\log_{45}7$ é:

1. Expressando os números em função de potências

Observe que

$$13{,}72=\frac{343}{25}=\frac{7^3}{5^2}$$

e

$$6125=7^2\cdot5^3.$$

Queremos determinar

$$x=\log_{45}7.$$

Também definimos

$$y=\log_{45}5.$$

2. Utilizando os logaritmos fornecidos

Pela propriedade do logaritmo do quociente,

$$\log_{45}\left(\frac{7^3}{5^2}\right) =3\log_{45}7-2\log_{45}5.$$

Assim,

$$3x-2y=0{,}6880.$$

Agora, utilizando $6125=7^2\cdot5^3$:

$$\log_{45}(7^2\cdot5^3) =2\log_{45}7+3\log_{45}5.$$

Portanto,

$$2x+3y=2{,}2908.$$

Temos o sistema

$$\begin{cases} 3x-2y=0{,}6880\\ 2x+3y=2{,}2908 \end{cases}$$

3. Resolvendo o sistema

Multiplicamos a primeira equação por $3$:

$$9x-6y=2{,}0640.$$

Multiplicamos a segunda equação por $2$:

$$4x+6y=4{,}5816.$$

Somando as equações, eliminamos $y$:

$$13x=6{,}6456.$$

Logo,

$$x=\frac{6{,}6456}{13}.$$$$x\approx0{,}5112.$$

Resposta

Como buscamos a alternativa mais próxima de $\log_{45}7$, temos:

$$\boxed{\log_{45}7\approx0{,}5112}$$

O valor mais próximo é $0{,}5112$.

Alternativa B.

🧩 Exercício 3 ITAMédio

Seja $A$ a matriz de ordem $100\times100$, cujos elementos são descritos pela equação

$$a_{ij}=1+(1-i)(1-j).$$

Considere as seguintes afirmações:

I. $A$ é uma matriz simétrica.

II. Cada linha da matriz $A$ forma uma progressão aritmética.

III. $A$ é uma matriz singular.

É (São) VERDADEIRA(S):

Análise da afirmativa I — Matriz simétrica

Uma matriz é simétrica quando $a_{ij}=a_{ji}$ para quaisquer índices $i$ e $j$.

Temos

$$a_{ij}=1+(1-i)(1-j).$$

Trocando os índices:

$$a_{ji}=1+(1-j)(1-i).$$

Como a multiplicação é comutativa,

$$(1-i)(1-j)=(1-j)(1-i).$$

Portanto,

$$a_{ij}=a_{ji}.$$

Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Análise da afirmativa II — Progressão aritmética

Fixando uma linha $i$, seus elementos são dados por

$$a_{ij}=1+(1-i)(1-j).$$

Podemos desenvolver a expressão:

$$a_{ij}=1+(1-i)-(1-i)j.$$

Assim,

$$a_{ij}=2-i+(i-1)j.$$

Para uma linha fixa, $i$ é constante. Portanto, a expressão é uma função do índice $j$ do primeiro grau.

A diferença entre dois elementos consecutivos é

$$\begin{aligned} a_{i,j+1}-a_{ij} &=[2-i+(i-1)(j+1)]\\ &\quad-[2-i+(i-1)j]\\ &=i-1. \end{aligned}$$

Essa diferença é constante ao longo de cada linha.

Logo, cada linha forma uma progressão aritmética, de razão $i-1$.

A afirmativa II é verdadeira.

Análise da afirmativa III — Matriz singular

Uma matriz quadrada é singular quando seu determinante é igual a zero.

Observe que

$$a_{ij}=1+(1-i)(1-j).$$

Podemos escrever a matriz como

$$A=J+uu^T,$$

em que $J$ é a matriz de ordem $100$ com todas as entradas iguais a $1$, e

$$u= \begin{bmatrix} 0\\ -1\\ -2\\ \vdots\\ -99 \end{bmatrix}.$$

A matriz $J$ tem todas as linhas iguais. Além disso, $uu^T$ é uma matriz de posto no máximo $1$.

Assim, o posto de $A$ é, no máximo,

$$\operatorname{posto}(A)\leq \operatorname{posto}(J)+\operatorname{posto}(uu^T) \leq 1+1=2.$$

Como $A$ possui ordem $100\times100$, seu posto é menor que sua ordem. Portanto, suas linhas são linearmente dependentes e

$$\det(A)=0.$$

Logo, a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

As três afirmativas são verdadeiras.

$$\boxed{\text{Alternativa E}}$$

🧩 Exercício 4 ITAMédio

Os vértices de um polígono são todos os números complexos não nulos que satisfazem a equação

$$iz^2=2\overline{z}.$$

A área desse polígono é:

1. Escrevendo o número complexo na forma polar

Como $z\neq0$, podemos escrever

$$z=r(\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta),$$

em que $r=|z|>0$.

Na forma exponencial,

$$z=re^{i\theta} \qquad\text{e}\qquad \overline{z}=re^{-i\theta}.$$

Substituindo na equação $iz^2=2\overline{z}$:

$$ir^2e^{2i\theta}=2re^{-i\theta}.$$

Dividindo ambos os lados por $r e^{-i\theta}$:

$$ire^{3i\theta}=2.$$

2. Determinando o módulo

Tomando os módulos dos dois lados:

$$|i|\,r\,|e^{3i\theta}|=|2|.$$

Como $|i|=1$ e $|e^{3i\theta}|=1$, temos

$$r=2.$$

Portanto, todos os pontos estão sobre uma circunferência de raio $2$ centrada na origem.

3. Determinando os argumentos

Da igualdade

$$ire^{3i\theta}=2,$$

e usando $r=2$, obtemos

$$ie^{3i\theta}=1.$$

Como $i=e^{i\pi/2}$,

$$e^{i(3\theta+\pi/2)}=1.$$

Logo,

$$3\theta+\frac{\pi}{2}=2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

Isolando $\theta$:

$$\theta=-\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}.$$

Considerando os três argumentos distintos no intervalo de uma volta completa:

$$\theta_1=-\frac{\pi}{6}, \qquad \theta_2=\frac{\pi}{2}, \qquad \theta_3=\frac{7\pi}{6}.$$

Os três pontos estão igualmente espaçados na circunferência. Portanto, formam um triângulo equilátero.

4. Calculando a área

O ângulo central entre dois vértices consecutivos é

$$\frac{2\pi}{3}=120^\circ.$$

O lado do triângulo é a corda correspondente a esse ângulo. Assim,

$$\ell=2r\operatorname{sen}\left(\frac{120^\circ}{2}\right).$$

Substituindo $r=2$:

$$\ell=4\operatorname{sen}60^\circ.$$$$\ell=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$$

A área de um triângulo equilátero de lado $\ell$ é

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^2.$$

Portanto,

$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^2.$$$$A=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot12.$$$$\boxed{A=3\sqrt{3}}.$$

Resposta

Alternativa C) $3\sqrt{3}$.

🧩 Exercício 5 ITAMédio

Uma circunferência é dividida em seis partes iguais pelos pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ e $F$, designados nessa ordem. Os pontos $A$, $C$ e $E$ são vértices de um triângulo equilátero, assim como os pontos $B$, $D$ e $F$. A sobreposição desses dois triângulos define uma estrela de seis pontas denominada hexagrama.

Se a área desse hexagrama é $25\sqrt{3}\text{ cm}^2$, então a área do quadrado inscrito na circunferência mede:

1. Relacionando o raio da circunferência ao hexagrama

Seja $R$ o raio da circunferência.

Como os seis pontos dividem a circunferência em arcos iguais, os triângulos $ACE$ e $BDF$ são equiláteros.

Cada lado desses triângulos é uma corda que subtende um ângulo central de $120^\circ$. Portanto,

$$\ell=2R\operatorname{sen}60^\circ.$$

Assim,

$$\ell=2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\ell=R\sqrt{3}.$$

2. Calculando a área do hexagrama

O hexagrama pode ser dividido em seis triângulos equiláteros externos e um hexágono regular central.

O hexágono central possui apótema $\frac{R}{2}$ e lado $\frac{R}{\sqrt{3}}$.

Sua área é

$$A_h=\frac{P\cdot ap}{2}.$$

Substituindo o perímetro e o apótema:

$$A_h= \frac{6\cdot\frac{R}{\sqrt{3}}\cdot\frac{R}{2}}{2}.$$

Logo,

$$A_h=\frac{\sqrt{3}}{2}R^2.$$

A área de cada triângulo equilátero maior é

$$A_t=\frac{\sqrt{3}}{4}(R\sqrt{3})^2.$$

Portanto,

$$A_t=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

O hexagrama corresponde à união dos dois triângulos equiláteros. Assim, subtraímos a área da região central, que foi contada duas vezes:

$$A_{\text{hexagrama}}=2A_t-A_h.$$

Substituindo:

$$A_{\text{hexagrama}} = 2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 -\frac{\sqrt{3}}{2}R^2.$$

Simplificando:

$$A_{\text{hexagrama}}=\sqrt{3}R^2.$$

3. Determinando o raio

Sabemos que a área do hexagrama é $25\sqrt{3}\text{ cm}^2$.

Logo,

$$\sqrt{3}R^2=25\sqrt{3}.$$

Dividindo por $\sqrt{3}$:

$$R^2=25.$$

4. Calculando a área do quadrado inscrito

A diagonal de um quadrado inscrito na circunferência é igual ao diâmetro.

Portanto,

$$d=2R.$$

A área do quadrado pode ser calculada pela diagonal:

$$A_q=\frac{d^2}{2}.$$

Substituindo $d=2R$:

$$A_q=\frac{(2R)^2}{2}.$$$$A_q=2R^2.$$

Como $R^2=25$:

$$A_q=2\cdot25.$$$$\boxed{A_q=50\text{ cm}^2}$$

Resposta

Alternativa D) $50\text{ cm}^2$.

🧩 Exercício 6 ITAMédio

Considere as seguintes afirmações:

I. Um cubo possui uma seção plana dada por um pentágono.

II. Sejam $\alpha$, $\beta$ e $\eta$ três planos distintos, dois a dois concorrentes. Sejam $r$ a reta de interseção de $\alpha$ e $\beta$, $s$ a reta de interseção de $\beta$ e $\eta$, e $t$ a reta de interseção de $\alpha$ e $\eta$. Se $r$, $s$ e $t$ são paralelas distintas, então existe uma única reta paralela a $r$ que dista igualmente de $\alpha$, $\beta$ e $\eta$.

III. Dois planos secantes são perpendiculares se toda reta de um deles for perpendicular ao outro plano.

É (São) VERDADEIRA(S):

Análise da afirmativa I

Um plano pode intersectar um cubo de modo a cortar cinco de suas faces.

Nesse caso, a seção plana formada possui cinco lados, sendo, portanto, um pentágono.

Logo, a afirmativa I é verdadeira.

Análise da afirmativa II

A afirmação diz que existe uma única reta paralela a $r$ que está à mesma distância dos três planos.

Como os planos são distintos e suas retas de interseção são paralelas, podemos observar a configuração em uma seção perpendicular à direção dessas retas.

Nessa seção, os três planos são representados por três retas, e uma reta paralela a $r$ corresponde a um ponto no plano da seção.

A condição de estar à mesma distância dos três planos equivale a esse ponto estar à mesma distância das três retas.

Entretanto, três retas que formam um triângulo podem possuir mais de um ponto equidistante delas: o incentro e os excentros.

Assim, não é garantida a existência de uma única reta com a propriedade descrita.

Logo, a afirmativa II é falsa.

Análise da afirmativa III

Dois planos secantes são perpendiculares quando o ângulo entre eles é de $90^\circ$.

Isso não significa que toda reta contida em um dos planos seja perpendicular ao outro.

Por exemplo, uma reta que coincida com a reta de interseção dos dois planos está contida em ambos. Portanto, ela não é perpendicular ao outro plano.

Logo, a afirmativa III é falsa.

Resposta

Somente a afirmativa I é verdadeira.

$$\boxed{\text{Alternativa A}}$$

🧩 Exercício 7 ITAMédio

Considere as matrizes

$$A= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac12\\[4pt] \frac12 & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}.$$

A matriz $A^{31}B$ é igual a:

1. Interpretando a matriz $A$

A matriz

$$A= \begin{bmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

representa uma rotação de ângulo $\theta$ no plano.

Comparando com a matriz dada, temos

$$\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \operatorname{sen}\theta=\frac12.$$

Logo,

$$\theta=30^\circ.$$

Assim, multiplicar um vetor por $A$ equivale a girá-lo $30^\circ$ no sentido anti-horário.

2. Interpretando a potência $A^{31}$

Cada multiplicação por $A$ acrescenta uma rotação de $30^\circ$. Portanto, $A^{31}$ corresponde a uma rotação de

$$31\cdot30^\circ=930^\circ.$$

Como uma volta completa corresponde a $360^\circ$, podemos reduzir esse ângulo:

$$930^\circ-2\cdot360^\circ=210^\circ.$$

Portanto, $A^{31}$ representa uma rotação de $210^\circ$.

3. Identificando o vetor $B$

Temos

$$B= \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt] \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}.$$

Esse vetor tem módulo

$$|B|= \sqrt{ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 }=1$$

e forma um ângulo de $45^\circ$ com o eixo positivo $x$.

Ao girá-lo em $210^\circ$, seu novo ângulo será

$$45^\circ+210^\circ=255^\circ.$$

4. Calculando as coordenadas do vetor resultante

Como o módulo permanece igual a $1$, temos

$$A^{31}B= \begin{bmatrix} \cos255^\circ\\ \operatorname{sen}255^\circ \end{bmatrix}.$$

Observe que

$$255^\circ=180^\circ+75^\circ.$$

Logo,

$$\cos255^\circ=-\cos75^\circ$$

e

$$\operatorname{sen}255^\circ=-\operatorname{sen}75^\circ.$$

Utilizando as fórmulas de diferença de ângulos:

$$\cos75^\circ =\cos(45^\circ+30^\circ)$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac12$$$$=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1).$$

Analogamente,

$$\operatorname{sen}75^\circ =\operatorname{sen}(45^\circ+30^\circ)$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac12$$$$=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1).$$

Portanto,

$$A^{31}B= \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)\\[6pt] -\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3}) \end{bmatrix}.$$

Resposta

$$\boxed{ A^{31}B= \begin{bmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)\\[6pt] -\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3}) \end{bmatrix} }$$

Alternativa A.

🧩 Exercício 8 ITAMédio

Seja $p(x)=x^3+bx^2+cx+d$ um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de $p(x)$ são reais, para todo $x\in\mathbb{R}$,

$$p(2+x)=-p(2-x),$$

então o menor valor possível para $p(0)$ é:

1. Interpretando a condição de simetria

A condição

$$p(2+x)=-p(2-x)$$

indica que o polinômio é ímpar em relação ao centro $x=2$.

Para explorar essa propriedade, fazemos a mudança de variável

$$t=x-2.$$

Assim, podemos escrever

$$q(t)=p(t+2).$$

A condição dada torna-se

$$q(t)=-q(-t).$$

Logo, $q$ é um polinômio ímpar.

2. Escrevendo o polinômio na nova variável

Como $p$ é de terceiro grau e seu coeficiente dominante é $1$, o mesmo vale para $q$. Portanto, por ser ímpar, ele tem a forma

$$q(t)=t^3+at,$$

em que $a\in\mathbb{R}$.

Voltando à variável original:

$$p(x)=(x-2)^3+a(x-2).$$

3. Utilizando a condição de que todas as raízes são reais

Fatorando:

$$p(x)=(x-2)\left[(x-2)^2+a\right].$$

Uma raiz é $x=2$. As outras possíveis raízes satisfazem

$$(x-2)^2=-a.$$

Para que essas raízes sejam reais, é necessário que

$$-a\geq0.$$

Portanto,

$$a\leq0.$$

4. Determinando o menor valor de $p(0)$

Substituindo $x=0$:

$$p(0)=(-2)^3+a(-2).$$$$p(0)=-8-2a.$$

Como $a\leq0$, temos $-2a\geq0$. Consequentemente,

$$p(0)\geq-8.$$

O valor mínimo ocorre quando $a=0$. Nesse caso,

$$p(x)=(x-2)^3,$$

que possui todas as raízes reais, pois sua única raiz é $x=2$, com multiplicidade três.

Assim,

$$\boxed{p(0)_{\min}=-8}.$$

Resposta

Alternativa B) $-8$.

🧩 Exercício 9 ITAMédio

Considere a reta $r$,

$$3x+4y=-15$$

e a parábola $P$,

$$y=x^2+x+6,$$

com vértice $V$. Seja $t$ a reta tangente à $P$, que tem coeficiente angular negativo e forma um ângulo de $45^\circ$ com $r$.

Sendo $A$ o ponto de tangência de $t$ a $P$ e $B$ o ponto de interseção de $r$ e $t$, a área do triângulo $ABV$ é:

1. Determinando o coeficiente angular da reta $r$

A reta $r$ é

$$3x+4y=-15.$$

Isolando $y$:

$$y=-\frac34x-\frac{15}{4}.$$

Portanto, seu coeficiente angular é

$$m_r=-\frac34.$$

2. Determinando o coeficiente angular da reta tangente $t$

Sabemos que $t$ forma um ângulo de $45^\circ$ com $r$.

Se $m$ é o coeficiente angular de $t$, podemos usar a fórmula da tangente do ângulo entre duas retas:

$$\tan\theta= \left| \frac{m-m_r}{1+mm_r} \right|.$$

Como $\theta=45^\circ$, temos $\tan45^\circ=1$. Assim,

$$1= \left| \frac{m+\frac34}{1-\frac34m} \right|.$$

Portanto,

$$m+\frac34 = \pm\left(1-\frac34m\right).$$

Como o enunciado informa que o coeficiente angular de $t$ é negativo, devemos escolher a solução negativa.

Tomando

$$m+\frac34=-1+\frac34m,$$

temos

$$\frac14m=-\frac74.$$

Logo,

$$\boxed{m=-7}.$$

3. Determinando o ponto de tangência $A$

A parábola é

$$y=x^2+x+6.$$

Sua derivada é

$$y'=2x+1.$$

No ponto de tangência, o coeficiente angular da tangente é $-7$. Portanto,

$$2x+1=-7.$$

Assim,

$$2x=-8$$

e

$$x=-4.$$

Substituindo na equação da parábola:

$$y=(-4)^2+(-4)+6.$$$$y=16-4+6=18.$$

Logo,

$$\boxed{A=(-4,18)}.$$

4. Encontrando a equação da reta $t$

Sabemos que $t$ possui coeficiente angular $-7$ e passa por $A=(-4,18)$.

Usando a equação ponto-inclinação:

$$y-18=-7(x+4).$$

Portanto,

$$y=-7x-10.$$

5. Determinando o ponto $B$

O ponto $B$ pertence simultaneamente às retas $r$ e $t$.

Temos

$$r:\quad y=-\frac34x-\frac{15}{4}$$

e

$$t:\quad y=-7x-10.$$

Igualando:

$$-7x-10=-\frac34x-\frac{15}{4}.$$

Multiplicando por $4$:

$$-28x-40=-3x-15.$$

Logo,

$$-25x=25$$

e

$$x=-1.$$

Substituindo em $t$:

$$y=-7(-1)-10.$$$$y=-3.$$

Portanto,

$$\boxed{B=(-1,-3)}.$$

6. Determinando o vértice $V$

Para a parábola

$$y=x^2+x+6,$$

a abscissa do vértice é

$$x_V=-\frac{b}{2a}.$$

Como $a=1$ e $b=1$:

$$x_V=-\frac12.$$

Calculando a ordenada:

$$y_V= \left(-\frac12\right)^2-\frac12+6.$$$$y_V=\frac14-\frac12+6 =\frac{23}{4}.$$

Logo,

$$\boxed{V=\left(-\frac12,\frac{23}{4}\right)}.$$

7. Calculando a área do triângulo $ABV$

Usamos a fórmula da área de um triângulo por coordenadas:

$$A_{\triangle} = \frac12 \left| x_A(y_B-y_V) +x_B(y_V-y_A) +x_V(y_A-y_B) \right|.$$

Substituindo

$$A=(-4,18), \qquad B=(-1,-3), \qquad V=\left(-\frac12,\frac{23}{4}\right),$$

temos

$$A_{\triangle} = \frac12 \left| -4\left(-3-\frac{23}{4}\right) -1\left(\frac{23}{4}-18\right) -\frac12(18+3) \right|.$$

Calculando cada termo:

$$-4\left(-\frac{35}{4}\right)=35,$$$$-\left(-\frac{49}{4}\right)=\frac{49}{4},$$

e

$$-\frac12(21)=-\frac{21}{2}.$$

Logo,

$$A_{\triangle} = \frac12 \left| 35+\frac{49}{4}-\frac{21}{2} \right|.$$

Colocando tudo sobre $4$:

$$A_{\triangle} = \frac12 \left| \frac{140+49-42}{4} \right|.$$$$A_{\triangle} = \frac12\cdot\frac{147}{4}.$$

Portanto,

$$\boxed{A_{\triangle}=\frac{147}{8}}.$$

Resposta

Alternativa D) $\frac{147}{8}$.

🧩 Exercício 10 ITAMédio

Sejam $x,y\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, satisfazendo o sistema de equações

$$\begin{cases} \tan(y)\tan\left(\frac{y}{2}\right) = \cos(2x)\sec(y)\\[6pt] \displaystyle \frac{\operatorname{sen}(y)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(y)} = 2 \end{cases}$$

O produto de todos os valores de $x$ e $y$ que resolvem esse sistema é:

1. Analisando a segunda equação

Temos

$$\frac{\operatorname{sen}(y)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(y)} = 2.$$

Colocando as frações em um único denominador:

$$\frac{\operatorname{sen}^2(y)+\cos^2(x)} {\operatorname{sen}(y)\cos(x)} =2.$$

Como $x,y\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, temos $\operatorname{sen}(y)>0$ e $\cos(x)>0$. Portanto, podemos multiplicar pelo denominador:

$$\operatorname{sen}^2(y)+\cos^2(x) = 2\operatorname{sen}(y)\cos(x).$$

Reorganizando:

$$\operatorname{sen}^2(y) -2\operatorname{sen}(y)\cos(x) +\cos^2(x)=0.$$

Logo,

$$\left(\operatorname{sen}(y)-\cos(x)\right)^2=0.$$

Assim,

$$\operatorname{sen}(y)=\cos(x).$$

Como $x,y\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, temos

$$\operatorname{sen}(y) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-y\right).$$

A função cosseno é injetora nesse intervalo, portanto,

$$x=\frac{\pi}{2}-y.$$

Consequentemente,

$$2x=\pi-2y.$$

2. Utilizando a primeira equação

A primeira equação é

$$\tan(y)\tan\left(\frac{y}{2}\right) = \cos(2x)\sec(y).$$

Como

$$x=\frac{\pi}{2}-y,$$

temos

$$\cos(2x) = \cos(\pi-2y) = -\cos(2y).$$

Portanto,

$$\tan(y)\tan\left(\frac{y}{2}\right) = -\frac{\cos(2y)}{\cos(y)}.$$

Agora usamos a identidade

$$\tan(y)\tan\left(\frac{y}{2}\right) = \frac{1-\cos(y)}{\cos(y)}.$$

Assim,

$$\frac{1-\cos(y)}{\cos(y)} = -\frac{\cos(2y)}{\cos(y)}.$$

Como $\cos(y)>0$, podemos multiplicar por $\cos(y)$:

$$1-\cos(y)=-\cos(2y).$$

Portanto,

$$1-\cos(y)+\cos(2y)=0.$$

3. Resolvendo a equação

Usando

$$\cos(2y)=2\cos^2(y)-1,$$

temos

$$1-\cos(y)+2\cos^2(y)-1=0.$$

Logo,

$$2\cos^2(y)-\cos(y)=0.$$

Fatorando:

$$\cos(y)\left(2\cos(y)-1\right)=0.$$

Como $y\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, temos $\cos(y)>0$. Portanto,

$$2\cos(y)-1=0.$$

Assim,

$$\cos(y)=\frac12.$$

No intervalo considerado,

$$y=\frac{\pi}{3}.$$

Como

$$x=\frac{\pi}{2}-y,$$

obtemos

$$x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}.$$

4. Calculando o produto

Existe uma única solução:

$$\left(x,y\right) = \left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right).$$

Logo, o produto de todos os valores de $x$ e $y$ que resolvem o sistema é

$$xy = \frac{\pi}{6}\cdot\frac{\pi}{3}.$$

Portanto,

$$\boxed{xy=\frac{\pi^2}{18}}.$$

Resposta

Alternativa E) $\frac{\pi^2}{18}$.

🧩 Exercício 11 ITAMédio

Seja $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. A quantidade de bijeções $F:A\longrightarrow A$ que satisfazem

$$F(1)<F(5)<F(3)$$

e

$$F(7)<F(2)$$

é:

1. Observando as restrições

Como $F$ é uma bijeção, os valores

$$F(1),F(5),F(3),F(7),F(2)$$

são cinco elementos distintos de $A$.

As condições impostas são

$$F(1)<F(5)<F(3)$$

e

$$F(7)<F(2).$$

Portanto, entre esses cinco valores, precisamos contar as maneiras de escolher os valores e distribuí-los respeitando essas relações de ordem.

2. Escolhendo os cinco valores

Escolhemos cinco elementos distintos de $A$, que possui oito elementos:

$$\binom{8}{5}=56.$$

Uma vez escolhidos os cinco valores, vamos organizá-los em ordem crescente:

$$v_1<v_2<v_3<v_4<v_5.$$

Para satisfazer

$$F(1)<F(5)<F(3),$$

os valores atribuídos a $F(1)$, $F(5)$ e $F(3)$ precisam aparecer nessa ordem.

Para $F(7)$ e $F(2)$, precisamos apenas que

$$F(7)<F(2).$$

Assim, devemos escolher quais três das cinco posições ordenadas serão ocupadas por

$$F(1),F(5),F(3),$$

mantendo essa ordem. As duas posições restantes serão ocupadas por $F(7)$ e $F(2)$, também em ordem crescente.

Portanto, para cada conjunto de cinco valores, o número de possibilidades é

$$\binom{5}{3}=10.$$

3. Completando a bijeção

Restam três elementos do conjunto $A$ que ainda não foram utilizados.

Eles devem ser atribuídos livremente às posições

$$4,\ 6,\ 8.$$

Isso pode ser feito de

$$3!=6$$

maneiras.

Logo, parece que teríamos

$$\binom85\binom53 3!.$$

Entretanto, precisamos observar que as cinco posições submetidas às desigualdades são

$$1,\ 5,\ 3,\ 7,\ 2,$$

e suas restrições formam duas cadeias independentes:

$$F(1)<F(5)<F(3)$$

e

$$F(7)<F(2).$$

Para cada escolha dos cinco valores, o número de ordenações que satisfazem essas duas cadeias é

$$\frac{5!}{3!\,2!}=10.$$

Assim,

$$N=\binom85\cdot10\cdot3!.$$

Calculando:

$$N=56\cdot10\cdot6.$$

Portanto,

$$\boxed{N=3360}.$$

Resposta

Alternativa A) $3360$.

🧩 Exercício 12 ITAMédio

Considere $m\in\mathbb{R}$ positivo. A sequência $r_k$ é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão $q$ e termo inicial $r_1=q$.

As circunferências

$$C_k:\ (x-r_k)^2+(y-mr_k)^2=r_k^2$$

são duas a duas tangentes externamente, nessa ordem.

A expressão de $q$ em função de $m$ é:

1. Identificando os centros e os raios

A circunferência $C_k$ é dada por

$$(x-r_k)^2+(y-mr_k)^2=r_k^2.$$

Portanto, seu centro é

$$P_k=(r_k,mr_k)$$

e seu raio é

$$R_k=r_k.$$

Como $r_k$ é uma P.G. de razão $q$, temos

$$r_{k+1}=qr_k.$$

Como a P.G. é crescente e possui termos positivos,

$$q>1.$$

2. Usando a condição de tangência externa

Duas circunferências são tangentes externamente quando a distância entre seus centros é igual à soma de seus raios.

Assim,

$$P_kP_{k+1}=r_k+r_{k+1}.$$

Calculando a distância entre os centros:

$$P_kP_{k+1} = \sqrt{(r_{k+1}-r_k)^2+ (mr_{k+1}-mr_k)^2}.$$

Colocando $(r_{k+1}-r_k)$ em evidência:

$$P_kP_{k+1} = (r_{k+1}-r_k)\sqrt{1+m^2}.$$

Como $r_{k+1}=qr_k$:

$$P_kP_{k+1} = r_k(q-1)\sqrt{1+m^2}.$$

Por outro lado,

$$r_k+r_{k+1} = r_k+qr_k = r_k(q+1).$$

Portanto,

$$r_k(q-1)\sqrt{1+m^2} = r_k(q+1).$$

Como $r_k>0$, podemos dividir por $r_k$:

$$(q-1)\sqrt{1+m^2}=q+1.$$

3. Isolando $q$

Desenvolvendo:

$$q\sqrt{1+m^2}-\sqrt{1+m^2}=q+1.$$

Logo,

$$q\left(\sqrt{1+m^2}-1\right) = \sqrt{1+m^2}+1.$$

Assim,

$$q= \frac{\sqrt{1+m^2}+1} {\sqrt{1+m^2}-1}.$$

Racionalizando:

$$q= \frac{(\sqrt{1+m^2}+1)^2} {(1+m^2)-1}.$$

Portanto,

$$q= \frac{(\sqrt{1+m^2}+1)^2}{m^2}.$$

Como $m>0$,

$$q= \left( \frac{\sqrt{1+m^2}+1}{m} \right)^2.$$

Resposta

$$\boxed{ q= \left( \frac{\sqrt{m^2+1}+1}{m} \right)^2 }$$

Alternativa B.