Canguru

🧩 Exercício 1 (Canguru 2025)Fácil

O ano $2025$ é um quadrado perfeito, pois

$$2025=45^2.$$

Quantos anos vão se passar até o próximo ano que seja um quadrado perfeito?

(A) $25$

(B) $91$

(C) $121$

(D) $500$

(E) $2025$

💡 Dica — clique para visualizar

Se $2025=45^2$, qual é o próximo número inteiro depois de $45$?

Ideia principal

Se

$$2025=45^2,$$

o próximo quadrado perfeito será obtido elevando $46$ ao quadrado.

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Passo 1 — Encontrando o próximo quadrado perfeito

Temos:

$$46^2=(45+1)^2.$$

Usando o quadrado da soma:

$$46^2=45^2+2\cdot45+1.$$

Como $45^2=2025$:

$$46^2=2025+90+1.$$

Logo:

$$46^2=2116.$$

---

Passo 2 — Calculando quantos anos se passarão

O ano atual é $2025$ e o próximo ano quadrado perfeito é $2116$.

Portanto:

$$2116-2025=91.$$

Assim:

$$\boxed{91}$$

---

Resultado

A resposta é:

$$\boxed{\text{(B) }91}$$

🧩 Exercício 2 (Canguru 2025)Médio

Qual é o menor número inteiro positivo $N$ para o qual

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{N}}}$$

é um número inteiro?

(A) $2^{12}\cdot3^2$

(B) $2^4\cdot3^{14}$

(C) $2^4\cdot3^6\cdot5$

(D) $2^4\cdot3^8$

(E) $2^4\cdot3^6$

💡 Dica — clique para visualizar

Transforme os radicais em potências.

Depois, escreva $N$ como produto de fatores primos e observe os expoentes de $2$ e $3$.

Ideia principal

Como os radicais estão aninhados, podemos transformá-los em potências.

A expressão

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{N}}}$$

pode ser escrita como uma potência de $2$, uma potência de $3$ e uma potência de $N$.

Depois, basta escolher os menores expoentes possíveis para que o resultado seja um número inteiro.

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Passo 1 — Transformando os radicais

Começamos pelo radical mais interno:

$$\sqrt{N}=N^{1/2}.$$

Então:

$$\sqrt{3\sqrt N} = \left(3N^{1/2}\right)^{1/2}.$$

Logo:

$$\sqrt{3\sqrt N} = 3^{1/2}N^{1/4}.$$

Agora aplicamos o último radical:

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt N}} = \left(2\cdot3^{1/2}N^{1/4}\right)^{1/2}.$$

Portanto:

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt N}} = 2^{1/2}3^{1/4}N^{1/8}.$$

Podemos escrever:

$$\boxed{ \sqrt{2\sqrt{3\sqrt N}} = 2^{1/2}3^{1/4}N^{1/8} }.$$

---

Passo 2 — Fatorando $N$

Para que o resultado seja inteiro, os expoentes dos fatores primos precisam ser inteiros.

Escrevamos:

$$N=2^a3^b,$$

Substituindo na expressão:

$$2^{1/2}\cdot3^{1/4}\cdot (2^a\cdot3^b)^{1/8}.$$

Assim:

$$2^{(4+a)/8}\cdot 3^{(2+b)/8}$$

Para que o resultado seja inteiro, precisamos que os expoentes sejam inteiros.

---

Passo 3 — Determinando o expoente de $2$

Precisamos que:

$$\frac{4+a}{8}$$

seja um número inteiro.

O menor valor possível de $a\geq0$ é:

$$a=4.$$

De fato:

$$\frac{4+4}{8}=1.$$

Portanto, precisamos de:

$$2^4.$$

---

Passo 4 — Determinando o expoente de $3$

Agora precisamos que:

$$\frac{2+b}{8}$$

seja um número inteiro.

O menor valor possível de $b\geq0$ é:

$$b=6.$$

Pois:

$$\frac{2+6}{8}=1.$$

Logo, precisamos de:

$$3^6.$$

---

Resultado

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{(E)}\quad 2^4\cdot3^6}.$$

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Insight

Em problemas com radicais aninhados, uma estratégia poderosa é transformar os radicais em potências.

Neste caso:

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt N}} = 2^{1/2}3^{1/4}N^{1/8}.$$

Depois disso, o problema deixa de ser essencialmente sobre radicais e passa a ser um problema sobre expoentes na fatoração prima.

A ideia geral é:

$$\boxed{\text{radicais}\longrightarrow\text{potências}\longrightarrow\text{expoentes primos}}$$

Essa transformação costuma simplificar bastante problemas de Olimpíadas.

🧩 Exercício 3 (Canguru 2025)Médio

A figura mostra um quarto de círculo $OPQ$ de raio $r$ e um triângulo $OPR$.

As duas regiões sombreadas na figura têm a mesma área.

Qual é o comprimento do segmento $OR$?

(A) $\dfrac{\pi r}{2}$

(B) $\dfrac{3r}{2}$

(C) $\pi r$

(D) $\dfrac{2r}{\pi}$

(E) $\dfrac{\pi}{2r}$

💡 Dica — clique para visualizar

Não tente calcular diretamente as áreas das regiões sombreadas.

Chame a área da região não sombreada de $A$ e a área de cada região sombreada de $B$.

Observe que tanto o quarto de círculo quanto o triângulo $OPR$ são formados pelas mesmas áreas $A+B$.

Ideia principal

A sacada da questão é perceber que não precisamos calcular as áreas sombreadas individualmente.

Vamos chamar:

• $A$ de área da região não sombreada;
• $B$ de área de cada uma das duas regiões sombreadas.

Como as duas regiões sombreadas possuem a mesma área, podemos comparar diretamente as áreas totais das duas figuras.

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Passo 1 — Área do quarto de círculo

O quarto de círculo possui raio $r$.

Sua área é:

$$A_{\text{círculo}}= \frac14\pi r^2.$$

Como ele é formado pelas regiões de áreas $A$ e $B$:

$$A+B=\frac{\pi r^2}{4}.$$

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Passo 2 — Área do triângulo

O triângulo $OPR$ possui:

• base $OP=r$;
• altura $OR$.

Portanto, sua área é:

$$A_{\triangle OPR} = \frac{r\cdot OR}{2}.$$

O triângulo também é formado pelas mesmas regiões de áreas $A$ e $B$.

Logo:

$$A+B=\frac{r\cdot OR}{2}.$$

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Passo 3 — Igualando as áreas

Como as duas expressões representam a mesma quantidade $A+B$, podemos igualá-las:

$$\frac{\pi r^2}{4} = \frac{r\cdot OR}{2}.$$

Como $r\neq0$, podemos dividir ambos os lados por $r$:

$$\frac{\pi r}{4} = \frac{OR}{2}.$$

Multiplicando por $2$:

$$OR=\frac{\pi r}{2}.$$

Portanto:

$$\boxed{OR=\frac{\pi r}{2}}.$$

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Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(A)}\quad\frac{\pi r}{2}}$$

🧩 Exercício 4 (Canguru 2026)Médio

O número

$$\underbrace{333\ldots333}_{2026\text{ dígitos}}$$

foi dividido por $33$.

Qual é a soma dos dígitos do resultado?

💡 Dica — clique para visualizar

Antes de tentar dividir um número com $2026$ algarismos, experimente números menores formados apenas por algarismos $1$.

Por exemplo:

$$1111\div11$$

e

$$111111\div11.$$

Procure descobrir um padrão no quociente e, principalmente, na soma de seus algarismos.

Ideia principal

Não precisamos realizar diretamente uma divisão com $2026$ algarismos.

Primeiro, vamos observar alguns exemplos menores para identificar um padrão.

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Passo 1 — Observando exemplos

Considere:

$$1111\div11=101.$$

A soma dos algarismos do resultado é:

$$1+0+1=2.$$

O número $1111$ possui $4$ algarismos, e:

$$2=\frac42.$$

Agora considere:

$$111111\div11=10101.$$

A soma dos algarismos é:

$$1+0+1+0+1=3.$$

Como o número $111111$ possui $6$ algarismos:

$$3=\frac62.$$

Mais um exemplo:

$$11111111\div11=1010101.$$

A soma dos algarismos é:

$$1+0+1+0+1+0+1=4.$$

E:

$$4=\frac82.$$

Portanto, percebemos o padrão:

$$\boxed{ \text{soma dos algarismos do quociente} = \frac{\text{quantidade de algarismos do dividendo}}{2} }$$

quando a quantidade de algarismos é par.

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Passo 2 — Simplificando o problema

O número do problema é:

$$\underbrace{333\ldots333}_{2026\text{ dígitos}}.$$

Podemos colocar $3$ em evidência:

$$\underbrace{333\ldots333}_{2026\text{ dígitos}} = 3\underbrace{111\ldots111}_{2026\text{ dígitos}}.$$

Como

$$33=3\cdot11,$$

temos:

$$\frac{ 3\underbrace{111\ldots111}_{2026\text{ dígitos}} }{33} = \frac{ \underbrace{111\ldots111}_{2026\text{ dígitos}} }{11}.$$

Portanto, basta analisar a divisão de um número formado por $2026$ algarismos $1$ por $11$.

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Passo 3 — Aplicando o padrão

Para uma quantidade par de algarismos:

$$1111\div11=101,$$$$111111\div11=10101,$$$$11111111\div11=1010101.$$

Assim, para $2026$ algarismos:

$$\underbrace{111\ldots111}_{2026\text{ dígitos}} \div11 = 101010\ldots0101.$$

O resultado possui:

$$\frac{2026}{2}=1013$$

algarismos iguais a $1$.

Todos os outros algarismos são zeros.

Portanto, a soma dos algarismos do resultado é:

$$1+1+\cdots+1$$

com $1013$ parcelas.

Logo:

$$\boxed{1013}.$$

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Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(B) }1013}$$

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Insight

O mais importante nessa questão não é efetuar a divisão.

Ao observar:

$$1111\div11=101,$$$$111111\div11=10101,$$$$11111111\div11=1010101,$$

percebemos que, para um número com uma quantidade par de algarismos $1$, o quociente possui exatamente metade dessa quantidade de algarismos $1$.

Assim:

$$\boxed{ \text{soma dos algarismos} = \frac{\text{número de algarismos do dividendo}}{2} }.$$

No problema:

$$\frac{2026}{2}=1013.$$

Sacada: quando aparecer uma divisão envolvendo números formados por algarismos repetidos, tente calcular alguns casos pequenos. O padrão pode permitir resolver um número gigantesco sem realizar a divisão.

🧩 Exercício 5 (Canguru 2026)Médio

A soma de $15$ números naturais consecutivos é igual à soma dos $9$ números naturais seguintes.

Qual é o menor desses $24$ números?

💡 Dica — clique para visualizar

Em uma sequência de números consecutivos, a média é igual ao número que está no meio.

Use a relação:

$$\text{soma}=\text{quantidade}\times\text{média}.$$

Ideia principal

Em vez de somar os $24$ números diretamente, podemos utilizar a média de cada grupo de números consecutivos.

Seja $n$ o menor dos $24$ números.

Então os $15$ primeiros são:

$$n,n+1,n+2,\ldots,n+14.$$

Os $9$ seguintes são:

$$n+15,n+16,\ldots,n+23.$$

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Passo 1 — Soma dos 15 primeiros números

Como existem $15$ números, o termo central é o oitavo:

$$n+7.$$

Portanto, a média dos $15$ números é:

$$n+7.$$

A soma dos $15$ números é:

$$15(n+7).$$

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Passo 2 — Soma dos 9 números seguintes

Agora temos:

$$n+15,n+16,\ldots,n+23.$$

Como são $9$ números, o termo central é o quinto:

$$n+19.$$

Logo, a média desses $9$ números é:

$$n+19.$$

A soma é:

$$9(n+19).$$

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Passo 3 — Igualando as somas

O enunciado afirma que as duas somas são iguais.

Assim:

$$15(n+7)=9(n+19).$$

Desenvolvendo:

$$15n+105=9n+171.$$

Então:

$$15n-9n=171-105.$$$$6n=66.$$

Portanto:

$$n=11.$$

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Resultado

O menor dos $24$ números é:

$$\boxed{11}.$$

Logo, a resposta correta é:

$$\boxed{\text{(B) }11}.$$

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Insight

A principal ideia é que a soma de uma sequência de números consecutivos pode ser calculada rapidamente usando sua média:

$$\boxed{\text{soma}=\text{quantidade}\times\text{média}}.$$

Para uma quantidade ímpar de números consecutivos, a média é simplesmente o termo central.

Neste problema:

$$15(n+7)=9(n+19).$$

Isso evita a necessidade de escrever e somar todos os $24$ números.

🧩 Exercício 6 (Canguru 2023)Fácil

Quantos pares de números inteiros positivos $x$ e $y$ satisfazem a equação

$$x+2y=2^{10}?$$

💡 Dica — clique para visualizar

Isole $x$ na equação e observe quais valores positivos $y$ pode assumir.

Lembre-se de que inteiros positivos não incluem o zero.

Ideia principal

A equação é

$$x+2y=2^{10}.$$

Como $x$ e $y$ são inteiros positivos, podemos escolher os valores possíveis de $y$ e, para cada um deles, determinar um único valor de $x$.

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Passo 1 — Isolando $x$

Temos:

$$x=2^{10}-2y.$$

Como

$$2^{10}=1024,$$

podemos escrever:

$$x=1024-2y.$$

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Passo 2 — Determinando os valores de $y$

Como $x$ deve ser positivo:

$$1024-2y>0.$$

Logo:

$$2y<1024$$

e, portanto,

$$y<512.$$

Além disso, $y$ é um inteiro positivo, então:

$$1\leq y\leq511.$$

Assim, existem exatamente:

$$511$$

valores possíveis para $y$.

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Passo 3 — Contando os pares

Para cada valor de $y$, a equação

$$x=1024-2y$$

determina exatamente um valor positivo de $x$.

Portanto, o número de pares $(x,y)$ é:

$$511.$$

Como

$$511=2^9-1,$$

temos:

$$\boxed{2^9-1}.$$

---

Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(A) }2^9-1}$$

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Insight

O ponto importante é perceber que não precisamos encontrar os pares $(x,y)$ individualmente.

Cada valor permitido de $y$ determina exatamente um valor de $x$.

Como:

$$1\leq y\leq511,$$

temos:

$$\boxed{511}$$

possibilidades.

Lembre-se também:

$$\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$$

é o conjunto dos inteiros, enquanto os inteiros positivos são:

$$\{1,2,3,\ldots\}.$$

Por isso, $y=0$ não é permitido nesta questão.

🧩 Exercício 7 (Canguru 2023)Média

Um quadrado de área $84$ foi dividido em $4$ quadrados. Destes novos quadrados, o que está na parte superior esquerda do quadrado original foi pintado de preto, o que está na parte inferior direita também foi dividido em $4$ quadrados menores e assim por diante.

Se esse processo for repetido infinitamente, qual será a área total pintada de preto?

💡 Dica — clique para visualizar

Observe que, a cada etapa, a área do quadrado que será pintado é reduzida para a quarta parte da área anterior.

Isso forma uma progressão geométrica infinita.

Ideia principal

A cada etapa, o quadrado que será dividido possui lado igual à metade do lado do quadrado anterior.

Consequentemente, sua área é reduzida para a quarta parte:

$$\frac14$$

da área anterior.

Assim, as áreas pintadas formam uma progressão geométrica infinita.

---

Passo 1 — Área da primeira região pintada

O quadrado original possui área:

$$84.$$

Ele foi dividido em $4$ quadrados de mesma área.

Portanto, a área de cada um é:

$$\frac{84}{4}=21.$$

Logo, a primeira região pintada possui área:

$$a_1=21.$$

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Passo 2 — Encontrando a razão

O quadrado inferior direito é novamente dividido em $4$ quadrados.

Assim, a próxima região pintada possui área:

$$\frac{21}{4}.$$

Na etapa seguinte, teremos:

$$\frac{21}{16}.$$

Depois:

$$\frac{21}{64}.$$

Portanto, as áreas pintadas formam a PG:

$$21+\frac{21}{4}+\frac{21}{16}+\frac{21}{64}+\cdots$$

com razão:

$$q=\frac14.$$

---

Passo 3 — Somando a PG infinita

Como:

$$|q|<1,$$

a progressão geométrica converge.

A soma de uma PG infinita é dada por:

$$S=\frac{a_1}{1-q}.$$

Substituindo:

$$S= \frac{21}{1-\frac14}.$$

Então:

$$S= \frac{21}{\frac34}.$$

Logo:

$$S=28.$$

---

Resultado

A área total pintada de preto é:

$$\boxed{28}.$$

Portanto, a resposta correta é:

$$\boxed{\text{(B) }28}.$$

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Insight

O ponto principal é perceber que a área pintada diminui por um fator de $4$ a cada nova etapa:

$$21,\quad \frac{21}{4},\quad \frac{21}{16},\quad \frac{21}{64},\quad\ldots$$

Assim:

$$\boxed{ A= \frac{84}{4} \left( 1+\frac14+\frac1{16}+\frac1{64}+\cdots \right) }$$

Como a razão é menor que $1$, podemos utilizar a soma da PG infinita:

$$\boxed{ S=\frac{a_1}{1-q} }.$$

Essa é uma aplicação clássica de progressões geométricas infinitas em problemas de áreas.

🧩 Exercício 8 (Canguru 2023)Médio

Os gráficos das funções definidas por

$$y=x^3+3x^2+ax+2a+4$$

passam todos por um certo ponto, qualquer que seja o valor de $a$.

Qual é a soma das coordenadas desse ponto?

💡 Dica — clique para visualizar

Agrupe os termos que possuem $a$.

Depois, pense: para que o ponto seja o mesmo independentemente do valor de $a$, o que precisa acontecer com o termo que contém $a$?

Ideia principal

Temos uma família de funções:

$$y=x^3+3x^2+ax+2a+4.$$

O valor de $a$ pode ser qualquer número.

Queremos encontrar um ponto que pertença ao gráfico independentemente do valor de $a$.

Para isso, precisamos encontrar um valor de $x$ que faça desaparecer a dependência em relação a $a$.

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Passo 1 — Agrupando os termos que possuem $a$

Na expressão

$$y=x^3+3x^2+ax+2a+4,$$

os termos que possuem $a$ são:

$$ax+2a.$$

Colocando $a$ em evidência:

$$ax+2a=a(x+2).$$

Assim, podemos escrever:

$$y=x^3+3x^2+4+a(x+2).$$

Agora fica evidente qual parte da expressão depende de $a$.

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Passo 2 — Fazendo o termo que depende de $a$ desaparecer

Queremos um ponto que pertença a todos os gráficos, qualquer que seja o valor de $a$.

Portanto, o valor de $y$ nesse ponto não pode depender de $a$.

Como $a$ pode assumir qualquer valor, precisamos fazer o fator que multiplica $a$ ser igual a zero:

$$x+2=0.$$

Logo:

$$x=-2.$$

Observe que, nesse caso,

$$a(x+2)=a\cdot0=0,$$

independentemente do valor de $a$.

É justamente isso que faz o resultado deixar de depender do parâmetro.

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Passo 3 — Encontrando a coordenada $y$

Substituindo $x=-2$:

$$y=(-2)^3+3(-2)^2+4.$$

Calculando:

$$y=-8+12+4.$$

Portanto:

$$y=8.$$

Assim, o ponto comum a todos os gráficos é:

$$\boxed{(-2,8)}.$$

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Passo 4 — Somando as coordenadas

A soma das coordenadas é:

$$-2+8=6.$$

Logo:

$$\boxed{6}.$$

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Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }6}$$

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Insight

Quando temos uma família de funções que depende de um parâmetro, como

$$f_a(x)=\text{parte independente de }a+a\cdot g(x),$$

e todos os gráficos passam por um mesmo ponto independentemente de $a$, devemos procurar um valor de $x$ que faça:

$$g(x)=0.$$

Neste problema:

$$y=x^3+3x^2+4+a(x+2),$$

portanto precisamos de:

$$x+2=0.$$

Daí:

$$x=-2.$$

Essa é a ideia fundamental: fazer desaparecer o termo que depende do parâmetro.

🧩 Exercício 9 (Canguru 2025)Médio

A figura mostra um octógono regular de lados $1$ cm. Para cada vértice do octógono, foi desenhado um arco de círculo de raio $1$ cm no interior do octógono, com centro nesse vértice, como mostrado.

As duas regiões sombreadas na figura têm a mesma área.

Qual é o perímetro da região sombreada na figura?

💡 Dica — clique para visualizar

Observe um dos vértices do octógono e os dois arcos que chegam até ele.

Como o lado do octógono e o raio dos arcos valem $1$ cm, é possível formar triângulos equiláteros.

Depois, determine o ângulo correspondente ao pequeno arco que faz parte do perímetro da região sombreada.

Ideia principal

A ideia é analisar apenas uma pequena parte da figura.

Escolha o vértice $D$ do octógono e considere os dois arcos que chegam próximos a esse vértice.

Como o octógono é regular e possui lado $1$ cm, temos:

$$DE=DC=1.$$

Além disso, os arcos possuem raio $1$ cm.

Isso permite construir dois triângulos equiláteros.

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Passo 1 — Construindo os triângulos equiláteros

Considere o ponto de interseção do arco com centro em $E$ com o arco de centro em $D$.

Chamemos esse ponto de $P$.

Como os dois arcos possuem raio $1$:

$$EP=DP=1.$$

E como $DE$ é lado do octógono:

$$DE=1.$$

Portanto:

$$EP=DP=DE=1.$$

Assim, o triângulo $EDP$ é equilátero.

Logo:

$$\angle EDP=60^\circ.$$

De maneira análoga, considerando o ponto de interseção dos arcos associados aos vértices $D$ e $C$, obtemos outro triângulo equilátero.

Portanto:

$$\angle QDC=60^\circ.$$

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Passo 2 — Ângulo interno do octógono

O ângulo interno de um octógono regular é:

$$\frac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}.$$

Logo:

$$\frac{6\cdot180^\circ}{8} = 135^\circ.$$

Assim, no vértice $D$, temos um ângulo de:

$$135^\circ.$$

Esse ângulo é dividido em três partes:

$$60^\circ+\theta+60^\circ,$$

onde $\theta$ é o ângulo correspondente ao pequeno arco que faz parte do perímetro da região sombreada.

Portanto:

$$60^\circ+\theta+60^\circ=135^\circ.$$

Daí:

$$\theta=135^\circ-60^\circ-60^\circ.$$

Então:

$$\boxed{\theta=15^\circ}.$$

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Passo 3 — Comprimento de cada arco

Cada arco possui raio:

$$r=1.$$

Precisamos transformar o ângulo de $15^\circ$ em radianos:

$$15^\circ=\frac{15\pi}{180} =\frac{\pi}{12}.$$

O comprimento de um arco de circunferência é:

$$L=r\theta.$$

Logo:

$$L=1\cdot\frac{\pi}{12}.$$

Portanto:

$$L=\frac{\pi}{12}.$$

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Passo 4 — Perímetro da região sombreada

Por simetria, a região sombreada é limitada por 8 arcos iguais.

Assim:

$$P=8\cdot\frac{\pi}{12}.$$

Simplificando:

$$P=\frac{8\pi}{12}$$

e, portanto,

$$\boxed{P=\frac{2\pi}{3}}.$$

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Resultado

O perímetro da região sombreada é:

$$\boxed{\frac{2\pi}{3}\text{ cm}}.$$

Portanto, a resposta correta é:

$$\boxed{\text{(B) }\frac{2\pi}{3}\text{ cm}}$$

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Insight

A grande sacada da questão está em perceber que o lado do octógono e o raio dos arcos têm exatamente o mesmo comprimento:

$$1\text{ cm}.$$

Por isso, quando consideramos dois vértices consecutivos e o ponto de encontro dos arcos correspondentes, aparecem triângulos equiláteros.

Assim, surgem dois ângulos de $60^\circ$.

Como o ângulo interno do octógono é $135^\circ$, o ângulo do arco que limita a região sombreada é:

$$\boxed{135^\circ-60^\circ-60^\circ=15^\circ}.$$

Depois, basta calcular o comprimento de um arco e multiplicar por $8$.

🧩 Exercício 10 (Canguru 2026)Fácil

Um triângulo tem todos os lados com medidas inteiras. Um lado mede $9$ e outro mede $1$.

Qual é a medida do terceiro lado do triângulo?

💡 Dica — clique para visualizar

Use a desigualdade triangular: em qualquer triângulo, a medida de um lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença entre eles.

Ideia principal

Seja $x$ a medida do terceiro lado.

Os lados do triângulo são:

$$1,\quad 9,\quad x.$$

Para que esses três números formem um triângulo, precisamos aplicar a desigualdade triangular.

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Passo 1 — Aplicando a desigualdade triangular

A diferença entre os dois lados conhecidos é:

$$9-1=8.$$

Portanto, o terceiro lado deve satisfazer:

$$x>8.$$

Além disso, a soma dos dois lados conhecidos é:

$$9+1=10.$$

Logo:

$$x<10.$$

Assim:

$$8<x<10.$$

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Passo 2 — Usando o fato de que os lados são inteiros

O enunciado informa que todos os lados possuem medidas inteiras.

O único número inteiro entre $8$ e $10$ é:

$$x=9.$$

Portanto, o terceiro lado mede:

$$\boxed{9}.$$

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Resultado

A resposta correta é:

$$\boxed{\text{(C) }9}$$

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Insight

Quando dois lados de um triângulo são conhecidos, podemos encontrar rapidamente o intervalo possível para o terceiro lado:

$$|a-b|<x<a+b.$$

Neste caso:

$$|9-1|<x<9+1$$$$8<x<10.$$

Como $x$ é inteiro:

$$\boxed{x=9}.$$