Equações do Segundo Grau

📘 Definição

Uma equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

onde:

• $a \neq 0$
• $a, b, c \in \mathbb{R}$
• $x$ é a incógnita

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🧠 Objetivo

Encontrar os valores de $x$ que tornam a equação verdadeira.

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🔎 Exemplos

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$2x^2 + 3x - 2 = 0$$

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✏️ Método geral — Fórmula de Bhaskara

A solução geral é dada por:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

onde:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

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🔍 Interpretação do discriminante

O discriminante é:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

✔ Duas raízes reais distintas

Quando:

$$\Delta > 0$$

a equação possui duas raízes reais distintas.

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✔ Uma raiz real

Quando:

$$\Delta = 0$$

a equação possui uma raiz real dupla.

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❌ Nenhuma raiz real

Quando:

$$\Delta < 0$$

a equação não possui raízes reais.

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✏️ Exemplo

Resolva:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ $$x = \frac{5 \pm 1}{2}$$ $$x_1 = 3,\quad x_2 = 2$$

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🧩 De onde vem a fórmula de Bhaskara?

Vamos deduzir a fórmula.

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✏️ Passo 1 — Equação geral

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Dividimos tudo por $a$:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$

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✏️ Passo 2 — Isolando

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

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✏️ Passo 3 — Completando quadrado

Somamos:

$$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

em ambos os lados:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

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✏️ Passo 4 — Quadrado perfeito

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

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✏️ Passo 5 — Raiz

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

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✏️ Passo 6 — Isolando (x)

$$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

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🎯 Resultado final

$$\boxed{ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} }$$

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💡 Insight

A fórmula de Bhaskara vem do método de:

👉 completar quadrados

Essa é uma das técnicas mais importantes da álgebra.

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🧠 Outras formas de resolver

✔ Fatoração

$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$$

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✔ Soma e produto das raízes

Considere a equação do segundo grau:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

com $a \neq 0$. Suas raízes são dadas por:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

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✏️ Soma das raízes

Somando $x_1 + x_2$:

$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Os termos com raiz se cancelam:

$$x_1 + x_2 = \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a}$$

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✏️ Produto das raízes

Multiplicando $x_1 \cdot x_2$:

$$x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right) \left(\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)$$

Usando o produto notável:

$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

temos:

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}}$$ $$\boxed{x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}}$$

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💡 Interpretação

• A soma das raízes depende de $b$
• O produto depende de $c$

Essas relações são muito úteis para:

• fatoração
• construção de equações
• resolução rápida de problemas

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🧩 Fatoração do trinômio do segundo grau

Considere o trinômio:

$$ax^2 + bx + c$$

com $a \neq 0$, e suponha que suas raízes sejam $x_1$ e $x_2$.

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✏️ Passo 1 — Colocando $a$ em evidência

$$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$$

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✏️ Passo 2 — Usando soma e produto

Sabemos que:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{e} \quad x_1x_2 = \frac{c}{a}$$

Substituindo:

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$$

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✏️ Passo 3 — Fatoração

$$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = (x - x_1)(x - x_2)$$

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🎯 Forma fatorada

$$\boxed{ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) }$$

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💡 Insight

Essa forma mostra que:

👉 as raízes são exatamente os valores que anulam o polinômio

👉 fatorar é “reconstruir” a equação a partir das raízes

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🚀 Aplicação prática

Se você conhece:

• soma das raízes
• produto das raízes

👉 consegue montar a equação sem usar Bhaskara.

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🚀 Aplicações

Equações do segundo grau aparecem em:

• física (MRUV)
• geometria
• engenharia
• economia

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📌 Problema aplicado

A área de um retângulo é 20 e seu comprimento é 5 unidades maior que a largura. Determine as dimensões.

$$x(x+5) = 20$$ $$x^2 + 5x - 20 = 0$$