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Distância entre Pontos

🧩 Exercício 1 Fácil

Na reta numérica, considere os pontos A=3A=3 e B=11B=11. Determine a distância entre eles.

🔎 Ideia principal​

Quando dois pontos estão sobre uma reta numérica, a distância entre eles é o módulo da diferença entre suas coordenadas.

A fórmula é:

d=∣x2−x1∣d=|x_2-x_1|

✏️ Passo 1 — Identificar as coordenadas​

Temos:

x1=3x_1=3

e:

x2=11x_2=11

✏️ Passo 2 — Aplicar a fórmula​

d=∣11−3∣d=|11-3|

✏️ Passo 3 — Calcular​

d=∣8∣d=|8|

Portanto:

d=8d=8

🎯 Resultado​

d=8\boxed{d=8}

💡 Insight​

Na reta numérica, a distância entre dois pontos é sempre positiva ou zero.

Por isso utilizamos o módulo:

d=∣x2−x1∣\boxed{d=|x_2-x_1|}
🧩 Exercício 2 Fácil

Considere os pontos:

A(2,5)A(2,5)

e:

B(8,5)B(8,5)

Determine a distância entre AA e BB.

🔎 Ideia principal​

Os dois pontos possuem a mesma coordenada yy:

yA=yB=5y_A=y_B=5

Portanto, o deslocamento é apenas horizontal.

✏️ Passo 1 — Observar as coordenadas​

Temos:

A(2,5)A(2,5)

e:

B(8,5)B(8,5)

As coordenadas yy são iguais.

✏️ Passo 2 — Calcular a diferença horizontal​

d=∣8−2∣d=|8-2|

Logo:

d=6d=6

🎯 Resultado​

AB=6\boxed{AB=6}

💡 Insight​

Quando dois pontos possuem a mesma coordenada yy, não precisamos utilizar a fórmula completa da distância.

Basta calcular:

d=∣x2−x1∣\boxed{d=|x_2-x_1|}
🧩 Exercício 3 Fácil

Considere os pontos:

A(4,2)A(4,2)

e:

B(4,9)B(4,9)

Determine a distância entre AA e BB.

🔎 Ideia principal​

Agora os pontos possuem a mesma coordenada xx.

Portanto, o deslocamento é exclusivamente vertical.

✏️ Passo 1 — Identificar as coordenadas​

Temos:

A(4,2)A(4,2)

e:

B(4,9)B(4,9)

Como:

xA=xB=4x_A=x_B=4

a distância depende apenas da diferença entre as coordenadas yy.

✏️ Passo 2 — Calcular​

d=∣9−2∣d=|9-2|

Logo:

d=7d=7

🎯 Resultado​

AB=7\boxed{AB=7}

💡 Insight​

Quando os pontos possuem a mesma coordenada xx, a distância é vertical:

d=∣y2−y1∣\boxed{d=|y_2-y_1|}
🧩 Exercício 4 Médio

Considere os pontos:

A(1,2)A(1,2)

e:

B(4,6)B(4,6)

Determine a distância entre eles.

🔎 Ideia principal​

Quando os pontos possuem coordenadas diferentes em xx e em yy, utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos.

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

Essa fórmula é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras.

✏️ Passo 1 — Identificar as coordenadas​

Temos:

x1=1,y1=2x_1=1,\quad y_1=2

e:

x2=4,y2=6x_2=4,\quad y_2=6

✏️ Passo 2 — Calcular as diferenças​

Para xx:

x2−x1=4−1=3x_2-x_1=4-1=3

Para yy:

y2−y1=6−2=4y_2-y_1=6-2=4

✏️ Passo 3 — Aplicar a fórmula​

d=32+42d=\sqrt{3^2+4^2}

✏️ Passo 4 — Calcular​

d=9+16d=\sqrt{9+16}d=25d=\sqrt{25}

Portanto:

d=5d=5

🎯 Resultado​

AB=5\boxed{AB=5}

💡 Insight​

O famoso triângulo de lados 33, 44 e 55 aparece naturalmente em problemas de distância.

A ideia geométrica é:

32+42=523^2+4^2=5^2

Ou seja, a distância entre os pontos corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo.

🧩 Exercício 5 Médio

Considere os pontos:

A(−2,1)A(-2,1)

e:

B(4,9)B(4,9)

Determine a distância entre eles.

🔎 Ideia principal​

Quando aparecem coordenadas negativas, devemos ter atenção principalmente aos sinais durante a subtração.

A fórmula continua sendo:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

✏️ Passo 1 — Identificar as coordenadas​

Temos:

x1=−2,y1=1x_1=-2,\quad y_1=1

e:

x2=4,y2=9x_2=4,\quad y_2=9

✏️ Passo 2 — Calcular a diferença em xx​

x2−x1=4−(−2)x_2-x_1=4-(-2)

Subtrair um número negativo equivale a somar:

4−(−2)=4+2=64-(-2)=4+2=6

✏️ Passo 3 — Calcular a diferença em yy​

y2−y1=9−1=8y_2-y_1=9-1=8

✏️ Passo 4 — Aplicar a fórmula​

d=62+82d=\sqrt{6^2+8^2}d=36+64d=\sqrt{36+64}d=100d=\sqrt{100}

🎯 Resultado​

AB=10\boxed{AB=10}

💡 Insight​

Quando houver coordenadas negativas, escreva os parênteses explicitamente:

4−(−2)4-(-2)

Isso ajuda a evitar erros de sinal.

🧩 Exercício 6 Médio

Considere o ponto A(6,8)A(6,8) e a origem O(0,0)O(0,0). Determine a distância entre AA e OO.

🔎 Ideia principal​

A origem do plano cartesiano é:

O(0,0)O(0,0)

Podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos.

✏️ Passo 1 — Identificar os pontos​

Temos:

A(6,8)A(6,8)

e:

O(0,0)O(0,0)

✏️ Passo 2 — Aplicar a fórmula​

d=(6−0)2+(8−0)2d=\sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2}

✏️ Passo 3 — Simplificar​

d=62+82d=\sqrt{6^2+8^2}d=36+64d=\sqrt{36+64}d=100d=\sqrt{100}

✏️ Passo 4 — Calcular​

d=10d=10

🎯 Resultado​

AO=10\boxed{AO=10}

💡 Insight​

Quando um dos pontos é a origem, (0,0)(0,0), a fórmula fica mais simples:

d=x2+y2\boxed{d=\sqrt{x^2+y^2}}

Assim, para A(6,8)A(6,8):

d=62+82=10d=\sqrt{6^2+8^2}=10
🧩 Exercício 7 Difícil

Determine o valor de xx sabendo que os pontos:

A(x,2)A(x,2)

e:

B(7,6)B(7,6)

estão a uma distância de 55 unidades.

🔎 Ideia principal​

Quando conhecemos a distância e uma coordenada é desconhecida, utilizamos a fórmula da distância e depois resolvemos uma equação.

Sabemos que:

AB=5AB=5

✏️ Passo 1 — Aplicar a fórmula da distância​

Temos:

A(x,2)A(x,2)

e:

B(7,6)B(7,6)

Logo:

5=(7−x)2+(6−2)25=\sqrt{(7-x)^2+(6-2)^2}

✏️ Passo 2 — Simplificar​

5=(7−x)2+425=\sqrt{(7-x)^2+4^2}5=(7−x)2+165=\sqrt{(7-x)^2+16}

✏️ Passo 3 — Elevar os dois lados ao quadrado​

25=(7−x)2+1625=(7-x)^2+16

Então:

(7−x)2=9(7-x)^2=9

✏️ Passo 4 — Resolver a equação​

Temos:

7−x=±37-x=\pm3

Primeira possibilidade:

7−x=37-x=3

Logo:

x=4x=4

Segunda possibilidade:

7−x=−37-x=-3

Logo:

x=10x=10

✏️ Passo 5 — Interpretar as soluções​

Existem duas posições possíveis para o ponto AA:

A(4,2)A(4,2)

ou:

A(10,2)A(10,2)

Ambas estão a 55 unidades de distância de B(7,6)B(7,6).

🎯 Resultado​

x=4 ou x=10\boxed{x=4\text{ ou }x=10}

💡 Insight​

Quando aparece uma equação do tipo:

u2=ku^2=k

devemos lembrar que:

u=±ku=\pm\sqrt{k}

Por isso, problemas de distância podem apresentar duas soluções.

🧩 Exercício 8 Difícil

Considere os pontos:

A(−3,4)A(-3,4)

e:

B(5,−2)B(5,-2)

Determine a distância entre eles e escreva o resultado na forma mais simplificada.

🔎 Ideia principal​

Como as duas coordenadas são diferentes, utilizaremos a fórmula completa da distância.

✏️ Passo 1 — Identificar as coordenadas​

Temos:

x1=−3,y1=4x_1=-3,\quad y_1=4

e:

x2=5,y2=−2x_2=5,\quad y_2=-2

✏️ Passo 2 — Calcular a diferença em xx​

x2−x1=5−(−3)x_2-x_1=5-(-3)=5+3=5+3=8=8

✏️ Passo 3 — Calcular a diferença em yy​

y2−y1=−2−4y_2-y_1=-2-4=−6=-6

Como essa diferença será elevada ao quadrado:

(−6)2=36(-6)^2=36

✏️ Passo 4 — Aplicar a fórmula​

d=82+(−6)2d=\sqrt{8^2+(-6)^2}d=64+36d=\sqrt{64+36}d=100d=\sqrt{100}

🎯 Resultado​

AB=10\boxed{AB=10}

💡 Insight​

O sinal negativo desaparece quando a diferença é elevada ao quadrado:

(−6)2=36(-6)^2=36

Por isso, não devemos substituir o módulo de forma precipitada: basta seguir corretamente a fórmula.

📚 Conceitos trabalhados​

Neste conjunto de exercícios, utilizamos:

  • distância entre pontos em uma reta numérica;
  • distância horizontal;
  • distância vertical;
  • fórmula da distância no plano cartesiano;
  • Teorema de Pitágoras;
  • pontos com coordenadas negativas;
  • distância entre um ponto e a origem;
  • determinação de coordenadas desconhecidas a partir de uma distância.