Segmento de Reta

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🧩 Exercício 1 Fácil

Considere o segmento de reta $\overline{AB}$ com comprimento de $12$ cm. Se $M$ é o ponto médio de $\overline{AB}$, determine os comprimentos de $\overline{AM}$ e $\overline{MB}$.

🔎 Ideia principal

O ponto médio divide um segmento em duas partes de mesmo comprimento.

Assim:

$$AM = MB$$

e:

$$AB = AM + MB$$

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✏️ Passo 1 — Utilizar a propriedade do ponto médio

Como $M$ é o ponto médio:

$$AM = MB$$

Podemos chamar cada parte de $x$:

$$AM=MB=x$$

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✏️ Passo 2 — Montar a relação

Sabemos que:

$$AB=12$$

Logo:

$$x+x=12$$

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✏️ Passo 3 — Calcular

$$2x=12$$

Portanto:

$$x=6$$

Assim:

$$AM=6\text{ cm}$$

e:

$$MB=6\text{ cm}$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{AM=MB=6\text{ cm}}$$

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💡 Insight

Sempre que um ponto for identificado como ponto médio, podemos imediatamente utilizar:

$$\boxed{AM=MB}$$

Essa propriedade será muito utilizada em problemas envolvendo segmentos.

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🧩 Exercício 2 Fácil

Considere três pontos colineares $A$, $B$ e $C$, com $B$ entre $A$ e $C$.

Sabendo que:

$$AB=8\text{ cm}$$

e:

$$BC=13\text{ cm}$$

determine o comprimento de $\overline{AC}$.

🔎 Ideia principal

Quando um ponto está entre dois outros pontos, o segmento maior é formado pela soma dos dois segmentos menores.

Assim:

$$AC=AB+BC$$

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✏️ Passo 1 — Substituir os valores

Temos:

$$AB=8$$

e:

$$BC=13$$

Portanto:

$$AC=8+13$$

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✏️ Passo 2 — Calcular

$$AC=21$$

Logo:

$$AC=21\text{ cm}$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{AC=21\text{ cm}}$$

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💡 Insight

Quando $B$ está entre $A$ e $C$, podemos utilizar diretamente:

$$\boxed{AC=AB+BC}$$

Essa relação é chamada de adição de segmentos.

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🧩 Exercício 3 Médio

Considere três pontos colineares $A$, $B$ e $C$, com $B$ entre $A$ e $C$.

Sabendo que:

$$AC=35\text{ cm}$$

e:

$$AB=18\text{ cm}$$

determine o comprimento de $\overline{BC}$.

🔎 Ideia principal

Como $B$ está entre $A$ e $C$:

$$AC=AB+BC$$

Neste problema, conhecemos o segmento maior e uma de suas partes. Portanto, precisamos isolar $BC$.

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✏️ Passo 1 — Montar a equação

Substituindo os valores:

$$35=18+BC$$

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✏️ Passo 2 — Isolar $BC$

Subtraindo $18$ dos dois lados:

$$BC=35-18$$

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✏️ Passo 3 — Calcular

$$BC=17$$

Logo:

$$BC=17\text{ cm}$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{BC=17\text{ cm}}$$

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💡 Insight

Quando conhecemos o segmento total e uma das partes, podemos encontrar a outra fazendo:

$$\boxed{\text{parte desconhecida}=\text{total}-\text{parte conhecida}}$$

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🧩 Exercício 4 Médio

Um segmento $\overline{AB}$ possui comprimento de $24$ cm. Um ponto $M$ divide o segmento de modo que:

$$AM=2x+3$$

e:

$$MB=3x-3$$

Determine o valor de $x$ e os comprimentos $AM$ e $MB$.

🔎 Ideia principal

Como $M$ está sobre o segmento $\overline{AB}$:

$$AB=AM+MB$$

Sabemos que:

$$AB=24$$

Portanto, podemos montar uma equação.

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✏️ Passo 1 — Montar a equação

Substituindo as expressões:

$$24=(2x+3)+(3x-3)$$

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✏️ Passo 2 — Simplificar

$$24=2x+3+3x-3$$

Os termos constantes se anulam:

$$24=5x$$

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✏️ Passo 3 — Determinar $x$

$$x=\frac{24}{5}$$

Portanto:

$$\boxed{x=\frac{24}{5}}$$

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✏️ Passo 4 — Determinar $AM$

Temos:

$$AM=2x+3$$

Substituindo:

$$AM=2\left(\frac{24}{5}\right)+3$$$$AM=\frac{48}{5}+\frac{15}{5}$$$$AM=\frac{63}{5}$$

Logo:

$$\boxed{AM=12{,}6\text{ cm}}$$

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✏️ Passo 5 — Determinar $MB$

Temos:

$$MB=3x-3$$

Então:

$$MB=3\left(\frac{24}{5}\right)-3$$$$MB=\frac{72}{5}-\frac{15}{5}$$$$MB=\frac{57}{5}$$

Logo:

$$\boxed{MB=11{,}4\text{ cm}}$$

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✏️ Passo 6 — Conferência

Devemos ter:

$$AM+MB=AB$$

Verificando:

$$12{,}6+11{,}4=24$$

Portanto, o resultado está correto.

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🎯 Resultado

$$\boxed{x=\frac{24}{5}}$$$$\boxed{AM=12{,}6\text{ cm}}$$$$\boxed{MB=11{,}4\text{ cm}}$$

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💡 Insight

Problemas de segmentos frequentemente podem ser transformados em uma equação utilizando:

$$\boxed{AB=AM+MB}$$

O ponto de divisão funciona como uma "ponte" entre as medidas conhecidas.

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🧩 Exercício 5 Médio

Considere um segmento $\overline{AB}$ de comprimento $30$ cm. O ponto $M$ é seu ponto médio e o ponto $N$ é o ponto médio do segmento $\overline{MB}$.

Determine o comprimento de $\overline{AN}$.

🔎 Ideia principal

Precisamos interpretar cuidadosamente a posição dos pontos.

Como $M$ é o ponto médio de $\overline{AB}$:

$$AM=MB$$

Como $N$ é o ponto médio de $\overline{MB}$:

$$MN=NB$$

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✏️ Passo 1 — Determinar $AM$ e $MB$

Como:

$$AB=30$$

e $M$ é o ponto médio:

$$AM=MB=\frac{30}{2}$$

Logo:

$$AM=15$$

e:

$$MB=15$$

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✏️ Passo 2 — Determinar $MN$

Como $N$ é o ponto médio de $MB$:

$$MN=\frac{MB}{2}$$

Portanto:

$$MN=\frac{15}{2}$$$$MN=7{,}5$$

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✏️ Passo 3 — Determinar $AN$

A ordem dos pontos é:

A •----------------• M--------• N--------• B
        15 cm           7,5 cm

Assim:

$$AN=AM+MN$$

Substituindo:

$$AN=15+7{,}5$$

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✏️ Passo 4 — Calcular

$$AN=22{,}5$$

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🎯 Resultado

$$\boxed{AN=22{,}5\text{ cm}}$$

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💡 Insight

Quando existem vários pontos médios em sequência, é útil determinar primeiro os segmentos menores e depois somá-los.

Neste problema:

$$AB \rightarrow AM \rightarrow MN$$

Cada ponto médio reduz o segmento correspondente pela metade.

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📚 Conceitos trabalhados

Neste conjunto de exercícios, utilizamos:

• adição de segmentos;
• subtração de segmentos;
• ponto médio;
• divisão de um segmento em partes;
• equações envolvendo comprimentos;
• verificação de resultados.