Desigualdade Triangular

Nem sempre três segmentos de reta podem ser unidos para formar um triângulo.

Para que três segmentos de medidas $a$, $b$ e $c$ possam formar um triângulo, a soma das medidas de quaisquer dois lados deve ser maior que a medida do terceiro lado.

Essa propriedade é chamada de desigualdade triangular.

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📐 Condição fundamental

Para que $a$, $b$ e $c$ sejam lados de um triângulo:

$$\boxed{a+b>c}$$ $$\boxed{a+c>b}$$ $$\boxed{b+c>a}$$

As três desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente.

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🧠 Regra prática

Na maioria dos exercícios, podemos usar uma forma mais rápida:

Some os dois menores lados e compare com o maior lado.

Se:

$$\boxed{\text{menor}+\text{menor}>\text{maior}}$$

os segmentos podem formar um triângulo.

Por exemplo:

$$5,\quad7,\quad9$$

Temos:

$$5+7=12$$

Como:

$$12>9$$

os segmentos podem formar um triângulo.

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❌ Quando não é possível?

Considere:

$$2,\quad3,\quad6$$

Os dois menores lados são $2$ e $3$:

$$2+3=5$$

Como:

$$5<6$$

não é possível formar um triângulo.

$$\boxed{\text{Não formam um triângulo}}$$

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⚠️ E quando a soma é igual?

Considere:

$$3,\quad4,\quad7$$

Temos:

$$3+4=7$$

Nesse caso, os segmentos ficam alinhados e não formam uma região triangular.

Portanto:

$$\boxed{3+4=7\Rightarrow\text{não forma triângulo}}$$

A condição precisa ser maior, e não maior ou igual:

$$\boxed{\text{soma dos dois menores}>\text{maior}}$$

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Exemplo 1 — Verificando três lados

Verifique se $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm podem formar um triângulo.

Ver solução

Os dois menores lados são $6$ e $8$:

$$6+8=14$$

Como:

$$14>10$$

os segmentos podem formar um triângulo.

$$\boxed{\text{Sim}}$$

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Exemplo 2 — Situação impossível

Verifique se $4$ cm, $5$ cm e $10$ cm podem formar um triângulo.

Ver solução

$$4+5=9$$

Como:

$$9<10$$

não é possível formar um triângulo.

$$\boxed{\text{Não}}$$

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Exemplo 3 — Caso limite

Verifique se $5$ cm, $7$ cm e $12$ cm formam um triângulo.

Ver solução

$$5+7=12$$

Como a soma é igual ao maior lado, a condição não é satisfeita.

Precisamos de:

$$5+7>12$$

Logo:

$$\boxed{\text{Não formam um triângulo}}$$

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Exemplo 4 — Encontrando um lado possível

Dois lados de um triângulo medem $7$ cm e $10$ cm. Quais valores inteiros podem ser usados como medida do terceiro lado?

Ver solução

Se o terceiro lado for $x$:

$$7+10>x$$

Logo:

$$x<17$$

Também precisamos de:

$$7+x>10$$

portanto:

$$x>3$$

Assim:

$$3<x<17$$

Como procuramos valores inteiros:

$$\boxed{x=4,5,6,\ldots,16}$$

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Exemplo 5 — Encontrando um intervalo

Dois lados medem $8$ cm e $13$ cm. Determine o intervalo de valores possíveis para o terceiro lado $x$.

Ver solução

Temos:

$$8+13>x$$

Logo:

$$x<21$$

Também:

$$8+x>13$$

Então:

$$x>5$$

Portanto:

$$\boxed{5<x<21}$$

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Exemplo 6 — Expressão algébrica

Os lados de um triângulo medem:

$$x,\quad x+2,\quad10$$

Determine os valores de $x$ para os quais existe um triângulo.

Ver solução

Aplicamos:

$$x+(x+2)>10$$$$2x+2>10$$$$x>4$$

As outras duas desigualdades são automaticamente satisfeitas para $x>4$.

Logo:

$$\boxed{x>4}$$

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Relação geométrica

A desigualdade triangular pode ser entendida visualmente.

Se:

$$a+b<c$$

os dois segmentos menores não conseguem alcançar o maior para fechar a figura.

Se:

$$a+b=c$$

os segmentos ficam alinhados.

Somente quando:

$$a+b>c$$

é possível fechar uma região triangular.

a + b < c

A------B--------------------C

a + b = c

A------B----------C

a + b > c

       A
      / \
     /   \
    B-----C

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🧠 Resumo

Para três segmentos de medidas $a$, $b$ e $c$ formarem um triângulo:

$$\boxed{a+b>c}$$ $$\boxed{a+c>b}$$ $$\boxed{b+c>a}$$

Na prática:

$$\boxed{\text{soma dos dois menores}>\text{maior}}$$

Se:

$$\text{soma dos dois menores}=\text{maior}$$

não existe região triangular.

Se:

$$\text{soma dos dois menores}<\text{maior}$$

também não existe triângulo.

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Quais medidas abaixo podem formar um triângulo?

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🧩 Exercício 2 Fácil

Os segmentos de medidas $5$ cm, $7$ cm e $9$ cm podem formar um triângulo?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Os segmentos de medidas $4$ cm, $5$ cm e $9$ cm podem formar um triângulo?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Qual condição deve ser satisfeita pela soma dos dois menores lados?

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🧩 Exercício 5 Médio

Dois lados de um triângulo medem $6$ cm e $10$ cm. Qual valor pode ser o terceiro lado?

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🧩 Exercício 6 Médio

Dois lados de um triângulo medem $7$ cm e $10$ cm. Quais valores inteiros podem representar o terceiro lado?

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🧩 Exercício 7 Médio

Dois lados de um triângulo medem $8$ cm e $13$ cm. Qual intervalo contém os valores possíveis para o terceiro lado $x$?

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🧩 Exercício 8 Médio

Os lados de um triângulo são $x$, $x+2$ e $10$. Qual condição deve ser satisfeita por $x$?

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🧩 Exercício 9 Médio

Três segmentos medem $10$ cm, $15$ cm e $25$ cm. O que podemos concluir?

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🧩 Exercício 10 Médio

Dois lados de um triângulo medem $9$ cm e $12$ cm. Qual opção representa corretamente os valores possíveis para o terceiro lado $x$?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos os elementos e pontos notáveis do triângulo, começando pelas medianas e pelo baricentro.