Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando possuem a mesma forma, mesmo que tenham tamanhos diferentes.

Em triângulos semelhantes:

• os ângulos correspondentes são iguais;
• os lados correspondentes são proporcionais.

O símbolo utilizado para indicar semelhança é:

$$\boxed{\sim}$$

Se os triângulos $ABC$ e $DEF$ são semelhantes, escrevemos:

$$\boxed{\triangle ABC\sim\triangle DEF}$$

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📐 Congruência × Semelhança

É importante diferenciar esses dois conceitos.

Triângulos congruentes

Possuem:

$$\boxed{\text{mesma forma e mesmo tamanho}}$$

Os lados correspondentes possuem exatamente a mesma medida.

Triângulos semelhantes

Possuem:

$$\boxed{\text{mesma forma, mas podem ter tamanhos diferentes}}$$

Os lados correspondentes são proporcionais.

Por exemplo:

$$3,\quad4,\quad5$$

e:

$$6,\quad8,\quad10$$

formam triângulos semelhantes, pois todos os lados do segundo são o dobro dos lados do primeiro.

Mas eles não são congruentes, pois possuem tamanhos diferentes.

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🔎 Correspondência entre os vértices

Se:

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

a ordem dos vértices indica a correspondência:

$$A\leftrightarrow D$$ $$B\leftrightarrow E$$ $$C\leftrightarrow F$$

Portanto:

$$AB\leftrightarrow DE$$ $$BC\leftrightarrow EF$$ $$AC\leftrightarrow DF$$

e:

$$\angle A=\angle D$$ $$\angle B=\angle E$$ $$\angle C=\angle F$$

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📏 Proporcionalidade dos lados

Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes possuem a mesma razão. Essa constante é chamada de razão de semelhança.

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⭐ Razão de semelhança

Considere dois triângulos semelhantes:

Primeiro:

$$3,\quad4,\quad5$$

Segundo:

$$6,\quad8,\quad10$$

A razão entre os lados correspondentes é:

$$\frac{6}{3}=2$$ $$\frac{8}{4}=2$$ $$\frac{10}{5}=2$$

Portanto, a razão de semelhança do segundo triângulo em relação ao primeiro é:

$$\boxed{k=2}$$

Isso significa que o segundo triângulo possui lados duas vezes maiores.

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🔢 Como utilizar a razão de semelhança

Se dois triângulos são semelhantes e a razão de semelhança é $k$, então:

$$\boxed{\text{lado do maior}=k\cdot\text{lado correspondente do menor}}$$

Por exemplo, se:

$$k=3$$

e um lado do primeiro triângulo mede:

$$4\text{ cm}$$

o lado correspondente do segundo mede:

$$3\cdot4=12\text{ cm}$$

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🔷 Critérios de semelhança

Existem três critérios principais para determinar se dois triângulos são semelhantes:

• AA — ângulo, ângulo;
• LAL — lado, ângulo, lado;
• LLL — lado, lado, lado.

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🔷 Caso AA — Ângulo, Ângulo

Dois triângulos são semelhantes pelo caso AA quando possuem dois ângulos correspondentes iguais.

Por exemplo:

$$\angle A=\angle D$$

e:

$$\angle B=\angle E$$

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^\circ$, o terceiro ângulo também será igual:

$$\angle C=\angle F$$

Portanto:

$$\boxed{\triangle ABC\sim\triangle DEF}$$

pelo caso AA.

🧠 Ideia importante

Não é necessário conhecer os três ângulos.

Se dois ângulos correspondentes forem iguais, o terceiro automaticamente será igual.

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🔷 Caso LAL — Lado, Ângulo, Lado

Dois triângulos são semelhantes pelo caso LAL quando:

• dois lados correspondentes são proporcionais;
• o ângulo compreendido entre esses lados é igual.

Por exemplo:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$$

e:

$$\angle A=\angle D$$

Então:

$$\boxed{\triangle ABC\sim\triangle DEF}$$

pelo caso LAL.

⚠️ Atenção

O ângulo precisa ser o ângulo entre os dois lados proporcionais.

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🔷 Caso LLL — Lado, Lado, Lado

Dois triângulos são semelhantes pelo caso LLL quando os três lados correspondentes são proporcionais.

Por exemplo:

$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$

Então:

$$\boxed{\triangle ABC\sim\triangle DEF}$$

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Exemplo de LLL

Considere dois triângulos com lados:

Primeiro:

$$4,\quad6,\quad8$$

Segundo:

$$6,\quad9,\quad12$$

Verifique se são semelhantes.

Ver solução

Calculamos as razões:

$$\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$$$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$$$\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

As três razões são iguais.

Logo:

$$\boxed{\triangle ABC\sim\triangle DEF}$$

pelo caso LLL.

A razão de semelhança é:

$$\boxed{k=\frac{3}{2}}$$

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🔎 Ângulos correspondentes

Em triângulos semelhantes, os ângulos correspondentes são sempre iguais.

Se:

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

então:

$$\angle A=\angle D$$ $$\angle B=\angle E$$ $$\angle C=\angle F$$

Isso significa que os triângulos possuem a mesma forma.

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Exemplo 1 — Descobrindo um lado

Dois triângulos semelhantes possuem lados correspondentes de medidas:

$$5\text{ cm}$$

e:

$$8\text{ cm}$$

Se outro lado do primeiro triângulo mede $10$ cm, qual é a medida do lado correspondente no segundo?

Ver solução

A razão de semelhança é:

$$k=\frac{8}{5}$$

Se o lado correspondente mede $10$ cm:

$$x=\frac{8}{5}\cdot10$$$$x=16$$

Portanto:

$$\boxed{x=16\text{ cm}}$$

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Exemplo 2 — Encontrando um lado por proporção

Sabemos que:

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

e:

$$AB=6,\quad DE=9$$

Além disso:

$$BC=8$$

Determine $EF$.

Ver solução

Como os triângulos são semelhantes:

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$

Substituindo:

$$\frac{6}{9}=\frac{8}{x}$$

Fazendo a multiplicação cruzada:

$$6x=72$$$$x=12$$

Logo:

$$\boxed{EF=12}$$

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Exemplo 3 — Encontrando a razão de semelhança

Um triângulo possui lados $4$, $7$ e $9$ cm. Um segundo triângulo semelhante possui o lado correspondente ao lado de $4$ cm medindo $10$ cm.

Qual é a razão de semelhança do segundo triângulo em relação ao primeiro?

Ver solução

A razão é:

$$k=\frac{10}{4}$$

Logo:

$$\boxed{k=\frac{5}{2}}$$

Portanto, cada lado do segundo triângulo é $\frac{5}{2}$ vezes o lado correspondente do primeiro.

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Exemplo 4 — Usando AA

Um triângulo possui ângulos:

$$40^\circ,\quad60^\circ,\quad80^\circ$$

Outro possui ângulos:

$$40^\circ,\quad60^\circ,\quad80^\circ$$

Eles são semelhantes?

Ver solução

Os dois triângulos possuem pelo menos dois ângulos correspondentes iguais:

$$40^\circ=40^\circ$$$$60^\circ=60^\circ$$

Portanto, pelo caso AA:

$$\boxed{\text{Sim, são semelhantes}}$$

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Exemplo 5 — Descobrindo uma altura

Uma pessoa de $1{,}8$ m de altura projeta uma sombra de $2{,}4$ m.

No mesmo instante, uma árvore projeta uma sombra de $8$ m.

Considerando os triângulos formados pelos objetos e suas sombras semelhantes, determine a altura da árvore.

Ver solução

Como os triângulos são semelhantes:

$$\frac{1{,}8}{2{,}4}=\frac{x}{8}$$

Fazendo a multiplicação cruzada:

$$2{,}4x=1{,}8\cdot8$$$$2{,}4x=14{,}4$$$$x=6$$

Portanto, a árvore possui:

$$\boxed{6\text{ m}}$$

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📐 Semelhança e perímetro

Quando dois triângulos são semelhantes, seus perímetros também estão na mesma razão que seus lados correspondentes.

Se a razão de semelhança é:

$$k=2$$

então o perímetro também será multiplicado por $2$.

Se o primeiro triângulo possui perímetro:

$$P=15\text{ cm}$$

o segundo terá:

$$P'=2\cdot15$$ $$\boxed{P'=30\text{ cm}}$$

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📐 Semelhança e áreas

Existe uma relação importante entre a razão de semelhança e as áreas.

Se dois triângulos semelhantes possuem razão de semelhança:

$$k$$

então a razão entre suas áreas é:

$$\boxed{k^2}$$

Por exemplo, se:

$$k=3$$

então:

$$\frac{A_2}{A_1}=3^2=9$$

Ou seja, a área do segundo triângulo é 9 vezes maior.

⚠️ Cuidado

Para lados e perímetros:

$$k$$

Para áreas:

$$k^2$$

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📐 Semelhança e alturas

Em triângulos semelhantes, as alturas correspondentes também são proporcionais à razão de semelhança.

Se:

$$k=2$$

uma altura de $5$ cm no primeiro triângulo corresponderá a:

$$2\cdot5=10\text{ cm}$$

no segundo.

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🧩 Como resolver problemas de semelhança

Uma estratégia eficiente:

Passo 1

Identifique os dois triângulos.

Passo 2

Determine os vértices correspondentes.

Passo 3

Verifique qual critério de semelhança pode ser usado:

$$AA,\quad LAL,\quad LLL$$

Passo 4

Monte uma proporção entre os lados correspondentes.

Passo 5

Resolva a proporção para encontrar a medida desconhecida.

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⚠️ Cuidado com a ordem

Se:

$$\triangle ABC\sim\triangle DEF$$

não devemos escrever as proporções de qualquer maneira.

A correspondência é:

$$A\leftrightarrow D$$ $$B\leftrightarrow E$$ $$C\leftrightarrow F$$

Portanto:

$$\boxed{ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} }$$

Manter a mesma ordem evita erros.

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🧠 Resumo

Triângulos semelhantes possuem:

$$\boxed{\text{ângulos correspondentes iguais}}$$

e:

$$\boxed{\text{lados correspondentes proporcionais}}$$

Os principais critérios são:

AA

$$\boxed{2\text{ ângulos iguais}}$$

LAL

$$\boxed{2\text{ lados proporcionais + ângulo compreendido igual}}$$

LLL

$$\boxed{3\text{ lados proporcionais}}$$

A razão de semelhança é:

$$\boxed{k=\frac{\text{lado do segundo}}{\text{lado correspondente do primeiro}}}$$

Para os perímetros:

$$\boxed{\frac{P_2}{P_1}=k}$$

Para as áreas:

$$\boxed{\frac{A_2}{A_1}=k^2}$$

E lembre-se:

$$\boxed{\text{Semelhança}=\text{mesma forma}}$$

enquanto:

$$\boxed{\text{Congruência}=\text{mesma forma e mesmo tamanho}}$$

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📝 Exercícios

🧩 Exercício 1 Fácil

Dois triângulos possuem a mesma forma, mas tamanhos diferentes. Eles podem ser:

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🧩 Exercício 2 Fácil

Qual é o símbolo utilizado para representar a semelhança entre dois triângulos?

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🧩 Exercício 3 Fácil

Dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes iguais. Qual critério pode garantir a semelhança?

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🧩 Exercício 4 Fácil

Dois triângulos possuem três lados correspondentes proporcionais. Qual critério de semelhança pode ser utilizado?

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🧩 Exercício 5 Médio

Um triângulo possui lados $3$, $4$ e $5$ cm. Outro possui lados $6$, $8$ e $10$ cm. Qual é a razão de semelhança do segundo em relação ao primeiro?

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🧩 Exercício 6 Médio

Dois triângulos semelhantes possuem lados correspondentes de $5$ cm e $8$ cm. Se outro lado do primeiro mede $10$ cm, quanto mede o lado correspondente do segundo?

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🧩 Exercício 7 Médio

Se a razão de semelhança entre dois triângulos é $3$, qual é a razão entre suas áreas?

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🧩 Exercício 8 Médio

Dois triângulos semelhantes têm lados correspondentes na razão $2:5$. Se um lado do menor mede $6$ cm, quanto mede o lado correspondente do maior?

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🧩 Exercício 9 Médio

Uma pessoa de $1{,}5$ m projeta uma sombra de $2$ m. No mesmo instante, uma árvore projeta uma sombra de $8$ m. Considerando os triângulos semelhantes, qual é a altura da árvore?

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🧩 Exercício 10 Médio

Dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo compreendido entre esses lados é igual. Qual critério de semelhança está sendo utilizado?

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Próximo tópico

No próximo conteúdo estudaremos o Teorema de Tales e a proporcionalidade, que permitirá aplicar a semelhança de triângulos em situações com retas paralelas e segmentos proporcionais.