EFOMM 2022

🧩 Exercício 1 EFOMMFácil

Seja a função $f$ definida por:

$$f(1)=4,\quad f(2)=1,\quad f(3)=3,\quad f(4)=5,\quad f(5)=2.$$

Considere, por exemplo, que $f^3(x)=f(f(f(x)))$ é a composta de três vezes e que $f^n(x)$ é a n-ésima composta da função $f$.

O valor de $f^{2022}(4)$ é:

Para calcular $f^{2022}(4)$, vamos aplicar a função $f$ sucessivamente, observando se os valores começam a se repetir.

1. Calculando as primeiras composições

Sabemos que:

$$f(4)=5$$

Aplicando novamente a função:

$$f^2(4)=f(f(4))=f(5)=2$$

Continuando:

$$f^3(4)=f(2)=1$$

E:

$$f^4(4)=f(1)=4$$

Observe que retornamos ao valor inicial. Portanto, os valores se repetem em um ciclo de quatro termos:

$$4\longrightarrow5\longrightarrow2\longrightarrow1\longrightarrow4$$

2. Determinando a posição no ciclo

Como o ciclo possui quatro termos, podemos dividir $2022$ por $4$:

$$2022=4\cdot505+2$$

O resto da divisão é $2$. Isso significa que, após completar $505$ ciclos, precisamos avançar mais duas posições a partir de $4$.

Como:

$$f^2(4)=2$$

Concluímos que:

$$\boxed{f^{2022}(4)=2}$$

Logo, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 2 EFOMMMédio

Assinale a alternativa que indica o valor de $x$ que torna a igualdade abaixo verdadeira.

$$\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}30^\circ\cdot\sec5^\circ = \operatorname{sen}25^\circ\cdot\operatorname{sen}35^\circ\cdot\sec60^\circ$$

Partimos da igualdade:

$$\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}30^\circ\cdot\sec5^\circ = \operatorname{sen}25^\circ\cdot\operatorname{sen}35^\circ\cdot\sec60^\circ$$

1. Substituindo os valores conhecidos

Sabemos que:

$$\operatorname{sen}30^\circ=\frac12 \qquad\text{e}\qquad \sec60^\circ=2$$

Além disso,

$$\sec5^\circ=\frac{1}{\operatorname{cos}5^\circ}$$

Substituindo na igualdade:

$$\frac{\operatorname{sen}x}{2\operatorname{cos}5^\circ} = 2\operatorname{sen}25^\circ\operatorname{sen}35^\circ$$

Multiplicando ambos os lados por $2\operatorname{cos}5^\circ$:

$$\operatorname{sen}x = 4\operatorname{cos}5^\circ \operatorname{sen}25^\circ\operatorname{sen}35^\circ$$

2. Aplicando a fórmula do produto de senos

Utilizamos a identidade:

$$2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B = \operatorname{cos}(A-B)-\operatorname{cos}(A+B)$$

Para $A=25^\circ$ e $B=35^\circ$:

$$2\operatorname{sen}25^\circ\operatorname{sen}35^\circ = \operatorname{cos}10^\circ-\operatorname{cos}60^\circ$$

Como $\operatorname{cos}60^\circ=\frac12$:

$$2\operatorname{sen}25^\circ\operatorname{sen}35^\circ = \operatorname{cos}10^\circ-\frac12$$

Logo,

$$4\operatorname{sen}25^\circ\operatorname{sen}35^\circ = 2\operatorname{cos}10^\circ-1$$

Substituindo na expressão de $\operatorname{sen}x$:

$$\operatorname{sen}x = \operatorname{cos}5^\circ (2\operatorname{cos}10^\circ-1)$$

3. Simplificando a expressão

Pela fórmula do cosseno do dobro do ângulo:

$$\operatorname{cos}10^\circ = 2\operatorname{cos}^2 5^\circ-1$$

Portanto,

$$2\operatorname{cos}10^\circ-1 = 4\operatorname{cos}^2 5^\circ-3$$

Assim,

$$\operatorname{sen}x = \operatorname{cos}5^\circ (4\operatorname{cos}^2 5^\circ-3)$$

Utilizando a identidade do cosseno do triplo do ângulo,

$$\operatorname{cos}3\theta = 4\operatorname{cos}^3\theta-3\operatorname{cos}\theta$$

com $\theta=5^\circ$, obtemos:

$$\operatorname{sen}x=\operatorname{cos}15^\circ$$

Como $\operatorname{cos}15^\circ=\operatorname{sen}75^\circ$, temos:

$$\operatorname{sen}x=\operatorname{sen}75^\circ$$

Considerando as alternativas, concluímos que:

$$\boxed{x=75^\circ}$$

Logo, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 3 EFOMMMédio

A afirmação “Carolina é alta, ou Bruno não é baixo, ou Renan é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade:

1. Interpretando a afirmação falsa

A afirmação dada é:

“Carolina é alta, ou Bruno não é baixo, ou Renan é calvo.”

Uma disjunção (conectivo “ou”) só é falsa quando todas as suas partes são falsas.

Portanto:

• Carolina não é alta;
• Bruno é baixo;
• Renan não é calvo.

2. Analisando as alternativas

Vamos verificar cada alternativa com base nas conclusões obtidas.

Alternativa A

“Se Bruno é baixo, então Carolina é alta.”

Bruno é baixo, mas Carolina não é alta. Logo, essa implicação é falsa.

Alternativa B

“Se Bruno é baixo, então Renan é calvo.”

Bruno é baixo, mas Renan não é calvo. Logo, essa implicação é falsa.

Alternativa C

“Se Carolina é alta, então Bruno é baixo, e, se Bruno não é baixo, então Renan não é calvo.”

As duas implicações são verdadeiras:

• Como Carolina não é alta, a primeira implicação é verdadeira, pois seu antecedente é falso.
• Como Bruno é baixo, a segunda implicação também é verdadeira, pois seu antecedente é falso.

Assim, a alternativa C é verdadeira.

Alternativa D

“Se Bruno é baixo, então Renan é calvo.”

Bruno é baixo, mas Renan não é calvo. Logo, essa implicação é falsa.

Alternativa E

“Se Carolina não é alta, então Bruno não é baixo.”

Carolina não é alta, mas Bruno é baixo. Logo, essa implicação é falsa.

Conclusão

A única alternativa verdadeira é:

$$\boxed{\text{C}}$$

Logo, a alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 4 EFOMMMédio

O comandante Toledo necessita calcular o centro de gravidade (ponto $G$) de seu navio. Esse dado é importante para os cálculos de flutuabilidade e estabilidade, visto que o peso do navio pode ser considerado como uma força nele concentrada.

Uma propriedade geométrica dos navios é possuir no casco um plano de simetria, chamado plano diametral ou plano longitudinal, que passa pela quilha (ponto $Q$).

Quando o navio está aprumado, o plano diametral é perpendicular ao plano da superfície da água (horizontal), que se chama plano de flutuação.

Considere a visão frontal (plano transversal) do navio representado na figura abaixo. O polígono $ABCD$ representa o casco do navio.

Dados: $AD=8\,\text{m}$; $AB=4\,\text{m}$; $BQ=5\,\text{m}$.

Tomando o ponto $Q$ como a origem do sistema de coordenadas, o comprimento do segmento $QG$, em metros, é:

Consideraremos somente o casco inferior, representado pelo polígono $ABQCD$, conforme a figura.

Como o casco é simétrico em relação ao eixo vertical que passa por $Q$, o centro de gravidade $G$ estará sobre esse eixo. Portanto, precisamos determinar apenas a distância vertical $QG$.

1. Determinando a altura do triângulo inferior

Como $AD=8\,\text{m}$ e o casco é simétrico, temos:

$$BC=AD=8\,\text{m}$$

Seja $H$ o ponto médio de $BC$. Assim,

$$BH=HC=\frac{8}{2}=4\,\text{m}$$

No triângulo retângulo $BHQ$, conhecemos:

$$BQ=5\,\text{m}$$$$BH=4\,\text{m}$$

Pelo Teorema de Pitágoras:

$$BQ^2=BH^2+QH^2$$$$5^2=4^2+QH^2$$$$QH^2=25-16=9$$

Logo,

$$\boxed{QH=3\,\text{m}}$$

Portanto, a altura do triângulo inferior é $3\,\text{m}$.

2. Decompondo o casco em figuras simples

Vamos dividir o casco em duas figuras:

• Um retângulo $ABCD$;
• Um triângulo $BQC$.

A área total do casco será a soma das áreas dessas duas figuras.

3. Calculando a área e o centroide do retângulo

A área do retângulo é:

$$A_1=AD\cdot AB$$$$A_1=8\cdot4$$$$\boxed{A_1=32\,\text{m}^2}$$

O centroide de um retângulo está em seu centro geométrico.

Como a altura do retângulo é $4\,\text{m}$ e sua base está a $3\,\text{m}$ de $Q$, a distância entre o centroide do retângulo e $Q$ é:

$$y_1=3+\frac{4}{2}$$$$\boxed{y_1=5\,\text{m}}$$

4. Calculando a área e o centroide do triângulo

A área do triângulo $BQC$ é:

$$A_2=\frac{BC\cdot QH}{2}$$

Substituindo os valores:

$$A_2=\frac{8\cdot3}{2}$$$$\boxed{A_2=12\,\text{m}^2}$$

O centroide de um triângulo está localizado a $\frac{2}{3}$ da altura, medida a partir do vértice.

Assim, a distância do centroide do triângulo até $Q$ é:

$$y_2=\frac{2}{3}\cdot3$$$$\boxed{y_2=2\,\text{m}}$$

5. Calculando o centro de gravidade do casco

A coordenada vertical do centroide de uma composição de figuras é dada pela média ponderada das coordenadas dos centroides, utilizando suas áreas como pesos:

$$QG=\frac{A_1y_1+A_2y_2}{A_1+A_2}$$

Substituindo os valores encontrados:

$$QG=\frac{32\cdot5+12\cdot2}{32+12}$$$$QG=\frac{160+24}{44}$$$$QG=\frac{184}{44}$$

Simplificando:

$$QG=\frac{46}{11}$$

Portanto,

$$QG\approx4{,}18\,\text{m}$$

Arredondando para uma casa decimal:

$$\boxed{QG\approx4{,}2\,\text{m}}$$

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 5 EFOMMFácil

As artesãs Mayara e Madalena ganham a vida vendendo miniaturas de navios da Marinha Mercante. O modelo mais procurado é o do famoso navio Alegre, afundado em 1942 pelo submarino alemão U-156, durante a Segunda Guerra Mundial.

São vendidos modelos de ferro com 10 cm e 15 cm de comprimento. Considere a densidade constante.

Se o menor modelo pesa 120 g, o maior modelo pesará:

Como os dois modelos são miniaturas semelhantes e possuem a mesma densidade, suas massas são proporcionais aos seus volumes.

1. Relação entre os comprimentos

O comprimento do modelo menor é:

$$L_1=10\,\text{cm}$$

O comprimento do modelo maior é:

$$L_2=15\,\text{cm}$$

A razão de semelhança entre os modelos é:

$$k=\frac{L_2}{L_1}$$$$k=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$$

2. Relação entre os volumes e as massas

Como os modelos são semelhantes, a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão de semelhança:

$$\frac{V_2}{V_1}=k^3$$

Substituindo:

$$\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{3}{2}\right)^3$$$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{27}{8}$$

Como a densidade é constante, a razão entre as massas também é:

$$\frac{m_2}{m_1}=\frac{27}{8}$$

3. Calculando a massa do modelo maior

Sabemos que o modelo menor pesa:

$$m_1=120\,\text{g}$$

Logo,

$$\frac{m_2}{120}=\frac{27}{8}$$$$m_2=120\cdot\frac{27}{8}$$$$m_2=15\cdot27$$$$\boxed{m_2=405\,\text{g}}$$

Portanto, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 6 EFOMMMédio

Sejam as funções $f$ e $g$ com derivadas $f'$ e $g'$, sabendo-se que

$$f(x^2)=\sqrt{f(g(x))}$$

onde $f(4)=1$, $g(2)=4$ e $f'(4)\neq 0$.

O valor de $g'(2)$ é:

1. Derivando os dois lados

Temos a igualdade:

$$f(x^2)=\sqrt{f(g(x))}$$

Vamos derivar ambos os lados em relação a $x$, utilizando a regra da cadeia.

No lado esquerdo:

$$\frac{d}{dx}f(x^2)=2x f'(x^2)$$

No lado direito:

$$\frac{d}{dx}\sqrt{f(g(x))} = \frac{f'(g(x))g'(x)}{2\sqrt{f(g(x))}}$$

Portanto,

$$2x f'(x^2) = \frac{f'(g(x))g'(x)}{2\sqrt{f(g(x))}}$$

2. Substituindo $x=2$

Como $g(2)=4$ e $f(4)=1$, temos:

$$2\cdot2\cdot f'(2^2) = \frac{f'(4)g'(2)}{2\sqrt{f(4)}}$$

Substituindo $f(4)=1$:

$$4f'(4)=\frac{f'(4)g'(2)}{2}$$

Multiplicando ambos os lados por $2$:

$$8f'(4)=f'(4)g'(2)$$

3. Isolando $g'(2)$

Como o enunciado informa que $f'(4)\neq0$, podemos dividir os dois lados por $f'(4)$:

$$\boxed{g'(2)=8}$$

Logo, a alternativa correta é a E.

🧩 Exercício 7 EFOMMMédio

Uma senha numérica é formada por 5 algarismos. Sabe-se que o primeiro algarismo é ímpar, os dois últimos são iguais e os demais são distintos. Os quatro primeiros algarismos estão em ordem crescente (da esquerda para a direita), como nos exemplos abaixo:

$$12344 \qquad \text{e} \qquad 35799$$

A quantidade de senhas possíveis com essas características é:

1. Interpretando as condições

A senha possui cinco algarismos, representados por:

$$\boxed{a_1a_2a_3a_4a_5}$$

Pelo enunciado:

• O primeiro algarismo é ímpar;
• Os quatro primeiros algarismos estão em ordem crescente;
• Os dois últimos algarismos são iguais, isto é, $a_4=a_5$.

Como os quatro primeiros algarismos estão em ordem crescente, temos:

$$a_1<a_2<a_3<a_4$$

Assim, basta escolher os quatro primeiros algarismos. O quinto já estará determinado, pois será igual ao quarto.

2. Contando as possibilidades

O primeiro algarismo precisa ser ímpar. Portanto, ele pode ser:

$$1,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 9$$

Entretanto, como os quatro primeiros algarismos devem estar em ordem crescente, precisamos ter pelo menos três algarismos maiores que o primeiro.

Vamos analisar cada possibilidade.

Caso 1: o primeiro algarismo é 1

Os outros três algarismos podem ser escolhidos entre:

$$2,3,4,5,6,7,8,9$$

Como a ordem crescente fica determinada pela escolha, temos:

$$\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56$$

Caso 2: o primeiro algarismo é 3

Os outros três algarismos devem ser escolhidos entre:

$$4,5,6,7,8,9$$

Logo:

$$\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20$$

Caso 3: o primeiro algarismo é 5

Os outros três algarismos devem ser escolhidos entre:

$$6,7,8,9$$

Assim:

$$\binom{4}{3}=4$$

Caso 4: o primeiro algarismo é 7 ou 9

Não existem três algarismos maiores disponíveis para completar os quatro primeiros em ordem crescente. Portanto, esses casos não geram senhas válidas.

3. Somando as possibilidades

Somamos os resultados dos casos possíveis:

$$N=56+20+4$$$$\boxed{N=80}$$

Logo, a alternativa correta é a E.

🧩 Exercício 8 EFOMMMédio

Seja a pirâmide quadrangular regular $ABCDE$ com aresta da base $4\sqrt{2}$ e aresta lateral $8$. Considere o prisma quadrangular regular inscrito na pirâmide. O prisma possui base inferior sobre a base da pirâmide e os vértices da base superior estão sobre as arestas laterais da pirâmide, como sugere a figura abaixo.

O volume máximo do prisma é igual a:

1. Calculando a altura da pirâmide

A base da pirâmide é um quadrado de lado $4\sqrt{2}$.

A diagonal desse quadrado mede:

$$d=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=8$$

Como a pirâmide é regular, sua altura parte do centro da base. A distância do centro da base até um vértice é metade da diagonal:

$$\frac{d}{2}=4$$

A aresta lateral mede $8$. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo formado pela altura da pirâmide, pela distância do centro da base ao vértice e pela aresta lateral:

$$H^2+4^2=8^2$$$$H^2=64-16=48$$

Portanto,

$$\boxed{H=4\sqrt{3}}$$

2. Expressando o volume do prisma

Seja $h$ a altura do prisma.

Como o prisma está inscrito na pirâmide, sua base superior está a uma altura $h$ da base da pirâmide.

Por semelhança de triângulos, o lado da base superior do prisma é proporcional à distância que falta até o vértice da pirâmide.

Seja $x$ o lado da base quadrada do prisma. Então:

$$\frac{x}{4\sqrt{2}}=\frac{H-h}{H}$$

Substituindo $H=4\sqrt{3}$:

$$\frac{x}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{3}-h}{4\sqrt{3}}$$

Logo,

$$x=4\sqrt{2}\left(1-\frac{h}{4\sqrt{3}}\right)$$

O volume do prisma é:

$$V=x^2h$$

Substituindo a expressão de $x$:

$$V(h)=\left[4\sqrt{2}\left(1-\frac{h}{4\sqrt{3}}\right)\right]^2h$$

Como $(4\sqrt{2})^2=32$, temos:

$$V(h)=32h\left(1-\frac{h}{4\sqrt{3}}\right)^2$$

3. Determinando o volume máximo

Para simplificar, fazemos:

$$t=\frac{h}{4\sqrt{3}}$$

Assim, $h=4\sqrt{3}t$, com $0\leq t\leq1$.

Substituindo na expressão do volume:

$$V(t)=32\cdot4\sqrt{3}t(1-t)^2$$$$V(t)=128\sqrt{3}\,t(1-t)^2$$

Agora, precisamos maximizar a função:

$$f(t)=t(1-t)^2$$

Derivando:

$$f'(t)=(1-t)^2-2t(1-t)$$

Colocando $(1-t)$ em evidência:

$$f'(t)=(1-t)(1-3t)$$

Igualando a derivada a zero:

$$(1-t)(1-3t)=0$$

Obtemos:

$$t=1 \qquad\text{ou}\qquad t=\frac13$$

Para $t=1$, o prisma tem volume nulo, pois sua base superior coincide com o vértice da pirâmide.

Portanto, o volume máximo ocorre quando:

$$t=\frac13$$

Como $t=\frac{h}{4\sqrt{3}}$, temos:

$$\frac{h}{4\sqrt{3}}=\frac13$$$$h=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

4. Calculando o volume máximo

Substituindo $t=\frac13$ na expressão do volume:

$$V_{\max}=128\sqrt{3}\cdot\frac13 \left(1-\frac13\right)^2$$$$V_{\max}=128\sqrt{3}\cdot\frac13\cdot\frac49$$

Portanto,

$$\boxed{V_{\max}=\frac{512\sqrt{3}}{27}}$$

Logo, a alternativa correta é a A.

🧩 Exercício 10 EFOMMMédio

Determine o valor de $a$ para o qual o determinante abaixo é nulo.

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & -2\\ -1 & -4 & 6 & a\\ 1 & -2 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}=0$$

1. Desenvolvendo o determinante

Vamos desenvolver o determinante pela quarta coluna, pois ela contém dois elementos nulos e apenas um elemento que depende de $a$.

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & -2\\ -1 & -4 & 6 & a\\ 1 & -2 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$

Pela expansão de Laplace:

$$\begin{aligned} D={}&(-2)(-1) \begin{vmatrix} -1 & -4 & 6\\ 1 & -2 & 2\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}\\ &+a \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0\\ 1 & -2 & 2\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}\\ &+(-1)(-1) \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & -4 & 6\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} \end{aligned}$$

2. Calculando os determinantes de ordem 3

Primeiro determinante:

$$\begin{vmatrix} -1 & -4 & 6\\ 1 & -2 & 2\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$

Aplicando a regra de Sarrus:

$$=(-1)(2-2)-(-4)(-1)+6(1)$$$$=0-4+6=2$$

Segundo determinante:

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0\\ 1 & -2 & 2\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$$$=2(2-2)-(-1)(-1)+0$$$$=0-1=-1$$

Terceiro determinante:

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & -4 & 6\\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$$$=2(4-6)-(-1)(1)+0$$$$=-4+1=-3$$

3. Substituindo os resultados

Voltando à expansão inicial:

$$D=(-2)(-1)(2)+a(-1)+(-1)(-1)(-3)$$$$D=4-a-3$$

Portanto,

$$D=1-a$$

4. Encontrando o valor de $a$

Queremos que o determinante seja nulo:

$$1-a=0$$

Logo,

$$\boxed{a=1}$$

Portanto, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 11 EFOMMMédio

O valor da soma

$$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+\cdots+29\cdot30$$

é:

1. Reescrevendo os produtos

Observe que cada termo da soma pode ser escrito como um número binomial:

$$k(k+1)=2\binom{k+1}{2}$$

Isso ocorre porque:

$$\binom{k+1}{2}=\frac{(k+1)k}{2}$$

Assim, a soma fica:

$$S=2\left[ \binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{30}{2} \right]$$

2. Utilizando o triângulo de Pascal

No triângulo de Pascal, os números binomiais obedecem à relação de Stifel:

$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1} =\binom{n+1}{k+1}$$

Essa propriedade permite somar números binomiais consecutivos e obter outro número binomial.

Por exemplo, usando a simetria dos números binomiais,

$$\binom{2}{2}=\binom{3}{3}$$

podemos escrever:

$$\binom{2}{2}+\binom{3}{2} = \binom{3}{3}+\binom{3}{2} = \binom{4}{3}$$

Aplicando sucessivamente a relação de Stifel:

$$\begin{aligned} \binom{2}{2}+\binom{3}{2} &=\binom{4}{3}\\[4pt] \binom{4}{3}+\binom{4}{2} &=\binom{5}{3}\\[4pt] \binom{5}{3}+\binom{5}{2} &=\binom{6}{3} \end{aligned}$$

Esse processo é conhecido como regra do bastão, pois, no triângulo de Pascal, a soma dos elementos de uma diagonal corresponde ao elemento situado na extremidade dessa diagonal.

De modo geral:

$$\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\cdots+\binom{30}{2} =\binom{31}{3}$$

Portanto,

$$S=2\binom{31}{3}$$

3. Identificando a alternativa

Pela simetria dos números binomiais,

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

temos:

$$\binom{31}{3}=\binom{31}{28}$$

Logo,

$$\boxed{S=2\binom{31}{28}}$$

Portanto, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 12 EFOMMMédio

Seja a função real $f$ definida por

$$f(x)=x^3+x+2$$

Assinale a alternativa que indica o valor da derivada da função inversa de $f$ em $x=0$, isto é, $(f^{-1})'(0)$.

1. Utilizando a fórmula da derivada da função inversa

A derivada da função inversa é dada por:

$$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

Queremos calcular:

$$(f^{-1})'(0)$$

Portanto,

$$(f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(f^{-1}(0))}$$

2. Calculando $f^{-1}(0)$

Para encontrar $f^{-1}(0)$, precisamos determinar o valor de $x$ para o qual $f(x)=0$.

Assim:

$$x^3+x+2=0$$

Testando $x=-1$:

$$(-1)^3+(-1)+2=0$$

Logo,

$$f^{-1}(0)=-1$$

3. Calculando a derivada de $f$

Temos:

$$f(x)=x^3+x+2$$

Derivando:

$$f'(x)=3x^2+1$$

Agora, substituímos $x=-1$:

$$f'(-1)=3(-1)^2+1$$$$f'(-1)=4$$

4. Encontrando a derivada da inversa

Substituindo na fórmula:

$$(f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(-1)}$$

Portanto,

$$\boxed{(f^{-1})'(0)=\frac14}$$

Logo, a alternativa correta, após a correção, é a E.

🧩 Exercício 13 LógicaFácil

Assinale a alternativa que corresponde à negação da afirmação abaixo.

$$\text{Todo nauta é corajoso e sonhador.}$$

1. Interpretando a afirmação

A afirmação dada é:

"Todo nauta é corajoso e sonhador."

Podemos representá-la simbolicamente por:

$$\forall x\,(N(x)\rightarrow (C(x)\land S(x)))$$

Em que:

• $N(x)$: $x$ é nauta;
• $C(x)$: $x$ é corajoso;
• $S(x)$: $x$ é sonhador.

2. Negando a afirmação

A negação de uma afirmação universal é uma afirmação existencial:

$$\neg\forall x\,P(x)\equiv\exists x\,\neg P(x)$$

Assim, negar que todo nauta seja corajoso e sonhador significa afirmar que existe pelo menos um nauta que não possui essa característica conjunta.

Logo:

$$\exists x\,(N(x)\land\neg(C(x)\land S(x)))$$

3. Aplicando a lei de De Morgan

Pela lei de De Morgan:

$$\neg(C(x)\land S(x)) \equiv \neg C(x)\lor\neg S(x)$$

Portanto, a negação completa é:

$$\exists x\,(N(x)\land(\neg C(x)\lor\neg S(x)))$$

Em linguagem natural:

"Existe nauta que não é corajoso ou não é sonhador."

4. Conclusão

A alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 14 EFOMMMédio

A Semente da Vida é uma figura geométrica regular formada por sete círculos dispostos segundo um padrão.

A Semente da Vida, juntamente com a Flor da Vida, são figuras presentes em diversos registros antigos, como os egípcios. Diversas religiões, escolas filosóficas e cientistas denominam o agrupamento de figuras dessa natureza como "Geometria Sagrada".

A Semente da Vida é assim denominada por ser a base de formação de várias figuras da geometria sagrada. A primeira fase da criação é composta por 7 sementes.

Assim sendo, a segunda fase da criação é composta por um total de 19 sementes da vida.

Na terceira fase da criação, a figura será composta por 37 sementes da vida. Dessa forma, quantas sementes da vida comporão a figura gerada na sétima fase da criação?

1. Identificando o padrão

As quantidades de sementes nas primeiras fases são:

$$7,\quad 19,\quad 37,\quad \ldots$$

Calculando as diferenças entre os termos consecutivos:

$$19-7=12$$$$37-19=18$$

Percebemos que as diferenças aumentam de 6 em 6. Portanto, a sequência das diferenças é:

$$12,\quad 18,\quad 24,\quad 30,\quad 36,\quad 42$$

2. Calculando a quantidade na sétima fase

Partindo da primeira fase, que possui 7 sementes, somamos os acréscimos até a sétima fase:

$$\begin{aligned} a_7={}&7+12+18+24\\ &+30+36+42 \end{aligned}$$

Somando:

$$a_7=7+162$$

Portanto,

$$\boxed{a_7=169}$$

3. Conclusão

A figura gerada na sétima fase da criação será composta por 169 sementes da vida.

Logo, a alternativa correta é a D.

🧩 Exercício 15 EFOMMFácil

O mestre de obras John e seu ajudante Johny precisam calcular a altura de um navio ancorado no porto. Para tal, utilizam a trigonometria no cálculo da altura de objetos inacessíveis.

O mestre se posiciona em um ponto $A$, de tal modo que observa o topo do navio por um ângulo de $30^\circ$. Em linha reta, seu ajudante está $20$ metros mais próximo do navio e observa o topo do navio por um ângulo de $60^\circ$.

A altura do navio, em metros, é igual a:

1. Definindo as incógnitas

Seja $h$ a altura do navio e $x$ a distância horizontal entre o ajudante e a base do navio.

Como o mestre está $20$ metros mais distante, sua distância até a base do navio é $x+20$.

2. Utilizando a tangente de $60^\circ$

No triângulo retângulo formado pelo ajudante, pelo topo do navio e pela base, temos:

$$\tan 60^\circ=\frac{h}{x}$$

Sabendo que $\tan 60^\circ=\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3}=\frac{h}{x}$$

Portanto,

$$h=x\sqrt{3}$$

3. Utilizando a tangente de $30^\circ$

Agora, considerando o triângulo formado pelo mestre, pelo topo do navio e pela base:

$$\tan 30^\circ=\frac{h}{x+20}$$

Como $\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{h}{x+20}$$

Logo,

$$h=\frac{x+20}{\sqrt{3}}$$

4. Determinando a distância $x$

As duas expressões representam a mesma altura. Assim:

$$x\sqrt{3}=\frac{x+20}{\sqrt{3}}$$

Multiplicando ambos os lados por $\sqrt{3}$:

$$3x=x+20$$$$2x=20$$$$x=10$$

5. Calculando a altura do navio

Substituindo $x=10$ em $h=x\sqrt{3}$:

$$h=10\sqrt{3}$$

Portanto,

$$\boxed{h=10\sqrt{3}\text{ m}}$$

Logo, a alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 16 EFOMMFácil

O valor do limite

$$\lim_{x\to 0}(1-2x)^{\frac{4}{x}}$$

é:

1. Identificando o limite fundamental

Vamos utilizar o limite fundamental:

$$\lim_{u\to 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e$$

Para isso, precisamos colocar a expressão na forma correspondente.

2. Realizando uma substituição

Observe que:

$$(1-2x)^{\frac{4}{x}} = \left[(1-2x)^{\frac{1}{-2x}}\right]^{-8}$$

Isso ocorre porque:

$$\frac{1}{-2x}\cdot(-8)=\frac{4}{x}$$

Assim, o limite fica:

$$\lim_{x\to 0} \left[(1-2x)^{\frac{1}{-2x}}\right]^{-8}$$

3. Aplicando o limite fundamental

Fazendo $u=-2x$, quando $x\to 0$, temos $u\to 0$.

Portanto,

$$\lim_{x\to 0}(1-2x)^{\frac{1}{-2x}}=e$$

Logo,

$$\lim_{x\to 0} \left[(1-2x)^{\frac{1}{-2x}}\right]^{-8} =e^{-8}$$

4. Conclusão

$$\boxed{\lim_{x\to 0}(1-2x)^{\frac{4}{x}}=e^{-8}}$$

Portanto, a alternativa correta é a A.

🧩 Exercício 17 EFOMMFácil

Um dado tradicional (6 faces) é lançado três vezes sucessivamente. A probabilidade de que os resultados de dois lançamentos consecutivos sejam iguais é:

1. Interpretando o problema

O dado é lançado três vezes. Queremos calcular a probabilidade de que pelo menos dois lançamentos consecutivos apresentem resultados iguais.

Isso pode acontecer de duas maneiras:

• O primeiro e o segundo resultados são iguais;
• O segundo e o terceiro resultados são iguais.

Também é possível que os três resultados sejam iguais.

Para facilitar, vamos calcular a probabilidade do evento contrário: os três resultados serem diferentes dos resultados imediatamente anteriores.

2. Calculando o total de resultados possíveis

Como cada lançamento possui 6 resultados possíveis, o número total de resultados é:

$$6\cdot6\cdot6=216$$

3. Calculando os casos em que não há resultados consecutivos iguais

No primeiro lançamento, podemos obter qualquer uma das 6 faces.

No segundo lançamento, precisamos obter um resultado diferente do primeiro. Portanto, temos 5 possibilidades.

No terceiro lançamento, precisamos obter um resultado diferente do segundo. Novamente, temos 5 possibilidades.

Assim, o número de casos em que não há resultados consecutivos iguais é:

$$6\cdot5\cdot5=150$$

4. Calculando a probabilidade desejada

Como existem 216 resultados possíveis e 150 deles não apresentam igualdade entre lançamentos consecutivos, o número de casos favoráveis é:

$$216-150=66$$

Logo, a probabilidade procurada é:

$$P=\frac{66}{216}$$

Simplificando por 6:

$$\boxed{P=\frac{11}{36}}$$

Portanto, a alternativa correta é a B.

🧩 Exercício 18 EFOMMMédio

Considere o círculo abaixo de centro $O$ e raio $r$. O valor do seno do ângulo $\alpha$, correspondente ao menor arco delimitado por uma corda de comprimento $\frac{3r}{2}$, é:

1. Relacionando a corda com o ângulo central

Sejam $A$ e $B$ as extremidades da corda. Como $OA=OB=r$, o triângulo $AOB$ é isósceles, e o ângulo central correspondente ao menor arco é $\alpha$.

Traçando a altura do triângulo a partir de $O$, ela divide a corda ao meio e também divide o ângulo $\alpha$ em dois ângulos iguais.

Assim, obtemos um triângulo retângulo com:

• Hipotenusa: $r$;
• Cateto oposto ao ângulo $\frac{\alpha}{2}$: $\frac{3r}{4}$.

Portanto,

$$\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right) =\frac{3r/4}{r}$$

Logo,

$$\boxed{\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac34}$$

2. Calculando o cosseno do meio ângulo

Pela identidade fundamental da trigonometria:

$$\operatorname{sen}^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) +\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=1$$

Substituindo o seno encontrado:

$$\left(\frac34\right)^2 +\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=1$$$$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) =1-\frac{9}{16}$$$$\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac7{16}$$

Como $\alpha$ é o ângulo central correspondente ao menor arco, temos $\frac{\alpha}{2}$ agudo. Portanto, o cosseno é positivo:

$$\boxed{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt7}{4}}$$

3. Calculando $\operatorname{sen}\alpha$

Utilizamos a fórmula do seno do arco duplo:

$$\operatorname{sen}\alpha =2\operatorname{sen}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$

Substituindo os valores encontrados:

$$\operatorname{sen}\alpha =2\cdot\frac34\cdot\frac{\sqrt7}{4}$$

Portanto,

$$\boxed{\operatorname{sen}\alpha=\frac{3\sqrt7}{8}}$$

Logo, a alternativa correta é a E.

🧩 Exercício 19 EFOMMMédio

Sejam $p$ e $q$ as raízes da equação

$$5x^2+2x-1=0$$

O valor de $p^{-5}+q^{-5}$ é:

1. Utilizando as relações de Girard

Pelas relações de Girard, para a equação $5x^2+2x-1=0$, temos:

$$p+q=-\frac25$$

e

$$pq=-\frac15$$

Queremos calcular:

$$p^{-5}+q^{-5}$$

Podemos escrever:

$$p^{-5}+q^{-5}=\frac{1}{p^5}+\frac{1}{q^5}$$

Colocando no mesmo denominador:

$$p^{-5}+q^{-5} =\frac{p^5+q^5}{p^5q^5}$$

Uma maneira prática de calcular essa expressão é considerar os inversos das raízes.

2. Determinando a soma e o produto dos inversos

Sejam:

$$a=\frac1p \qquad\text{e}\qquad b=\frac1q$$

Assim,

$$a+b=\frac1p+\frac1q =\frac{p+q}{pq}$$

Substituindo as relações de Girard:

$$a+b=\frac{-2/5}{-1/5}=2$$

Além disso,

$$ab=\frac1{pq}=-5$$

Portanto,

$$\boxed{a+b=2\qquad\text{e}\qquad ab=-5}$$

3. Calculando as potências sucessivas

Definimos:

$$S_n=a^n+b^n$$

Como $a$ e $b$ são raízes de uma equação quadrática com soma $2$ e produto $-5$, temos:

$$x^2-2x-5=0$$

Logo,

$$x^2=2x+5$$

Multiplicando por $x^{n-2}$:

$$x^n=2x^{n-1}+5x^{n-2}$$

Essa relação vale tanto para $a$ quanto para $b$. Somando as duas expressões:

$$\boxed{S_n=2S_{n-1}+5S_{n-2}}$$

Começamos com:

$$S_0=a^0+b^0=2$$$$S_1=a+b=2$$

Agora, calculamos sucessivamente:

$$S_2=2S_1+5S_0$$$$S_2=2\cdot2+5\cdot2=14$$$$S_3=2S_2+5S_1$$$$S_3=2\cdot14+5\cdot2=38$$$$S_4=2S_3+5S_2$$$$S_4=2\cdot38+5\cdot14=146$$

Finalmente,

$$S_5=2S_4+5S_3$$$$S_5=2\cdot146+5\cdot38$$$$S_5=292+190=482$$

4. Conclusão

Como $a=\frac1p$ e $b=\frac1q$, temos:

$$p^{-5}+q^{-5}=a^5+b^5=S_5$$

Portanto,

$$\boxed{p^{-5}+q^{-5}=482}$$

Logo, a alternativa correta é a C.

🧩 Exercício 20 EFOMMFácil

Toda dízima periódica pode ser escrita em forma de sua fração geratriz. Considerando a fração geratriz

$$\frac{2229}{27027}$$

o dígito que ocupará a $50^\text{a}$ casa decimal é:

1. Simplificando a fração

Começamos simplificando a fração:

$$\frac{2229}{27027}=\frac{743}{9009}$$

2. Encontrando a dízima periódica

Realizando a divisão de $743$ por $9009$, obtemos:

$$\frac{743}{9009}=0,\overline{082473}$$

Assim, a dízima periódica possui período de 6 algarismos:

$$\underbrace{082473}_{6\text{ algarismos}} \underbrace{082473}_{6\text{ algarismos}} \underbrace{082473}_{6\text{ algarismos}}\cdots$$

3. Determinando o 50º algarismo

Como o período possui 6 algarismos, dividimos 50 por 6:

$$50=6\cdot8+2$$

Isso significa que, após 8 períodos completos, teremos 48 algarismos. O 50º algarismo será, portanto, o segundo algarismo do período.

O período é:

$$\boxed{0\quad 8\quad 2\quad 4\quad 7\quad 3}$$

O segundo algarismo é $8$.

4. Conclusão

Portanto, o dígito que ocupa a 50ª casa decimal é:

$$\boxed{8}$$

Logo, a alternativa correta é a E.