EFOMM 2024

🧩 Exercício 1 EFOMMMédio

Determine o volume do paralelepípedo com base quadrada, dadas as seguintes condições:

• Uma pirâmide de base quadrada está completamente contida no paralelepípedo, coincidindo sua base com a base inferior do paralelepípedo. A projeção do vértice da pirâmide coincide com os centros dos quadrados das bases do paralelepípedo. O volume da pirâmide é de $5\,\text{m}^3$.

• Um cone está contido no paralelepípedo, com vértice coincidente com o vértice da pirâmide, e sua base está inscrita na base superior do paralelepípedo. O volume do cone é de $4\,\text{m}^3$.

O volume do paralelepípedo, em metros cúbicos, é:

1. Definindo as dimensões

Sejam:

• $a$ o lado da base quadrada do paralelepípedo;
• $H$ a altura do paralelepípedo;
• $h$ a altura da pirâmide.

A área da base quadrada é

$$A=a^2.$$

Como a pirâmide tem volume $5\,\text{m}^3$, temos:

$$\frac{a^2h}{3}=5.$$

Logo,

$$\boxed{a^2h=15}.$$

2. Utilizando o volume do cone

A base do cone é um círculo inscrito no quadrado de lado $a$. Portanto, seu raio é

$$r=\frac{a}{2}.$$

A altura do cone corresponde à diferença entre a altura do paralelepípedo e a altura da pirâmide:

$$H-h.$$

Pela fórmula do volume do cone,

$$V_c=\frac{\pi r^2(H-h)}{3}.$$

Substituindo $r=\frac a2$ e $V_c=4$:

$$\frac{\pi\left(\frac a2\right)^2(H-h)}{3}=4.$$

Simplificando,

$$\frac{\pi a^2(H-h)}{12}=4.$$

Assim,

$$\boxed{a^2(H-h)=\frac{48}{\pi}}.$$

3. Calculando o volume do paralelepípedo

O volume do paralelepípedo é

$$V=a^2H.$$

Podemos escrever:

$$V=a^2\bigl[h+(H-h)\bigr].$$

Distribuindo:

$$V=a^2h+a^2(H-h).$$

Utilizando os resultados obtidos anteriormente:

$$V=15+\frac{48}{\pi}.$$

Portanto,

$$\boxed{V=15+\frac{48}{\pi}\,\text{m}^3}.$$

Conclusão

A alternativa correta é D).

🧩 Exercício 2 EFOMMMédio

Seja $Z$ o número de soluções inteiras não negativas da inequação

$$x_1+x_2+x_3+x_4<6.$$

Determine o termo que contém $x^4$ no desenvolvimento de

$$(x^2+Z)^{12}.$$

1. Calculando o número de soluções de Z

Queremos determinar o número de soluções inteiras não negativas de

$$x_1+x_2+x_3+x_4<6.$$

Como as variáveis são inteiras, isso equivale a

$$x_1+x_2+x_3+x_4\leq 5.$$

Introduzimos uma variável auxiliar $x_5\geq 0$, de modo que

$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5.$$

Pelo método de distribuição de estrelas e barras, o número de soluções é

$$Z=\binom{5+5-1}{5-1}.$$

Logo,

$$Z=\binom94 =\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.$$

Portanto,

$$\boxed{Z=126}.$$

2. Encontrando o termo que contém $x^4$

Substituindo $Z=126$, temos o desenvolvimento

$$(x^2+126)^{12}.$$

Pelo teorema binomial, o termo geral é

$$T_{k+1} = \binom{12}{k}(x^2)^k126^{12-k}.$$

Simplificando,

$$T_{k+1} = \binom{12}{k}126^{12-k}x^{2k}.$$

Queremos o termo que contém $x^4$. Assim,

$$2k=4 \quad\Longrightarrow\quad k=2.$$

Substituindo $k=2$:

$$T_3=\binom{12}{2}126^{10}x^4.$$

Como

$$\binom{12}{2} = \frac{12\cdot11}{2} =66,$$

obtemos

$$\boxed{T_3=66\cdot126^{10}x^4}.$$

Conclusão

O termo que contém $x^4$ é

$$\boxed{66(126^{10}x^4)}.$$

Alternativa correta: D).

🧩 Exercício 3 EFOMMMédio

Seja $ABC$ um triângulo com lados de tamanhos $10$, $5$ e $5\sqrt{3}$, com a relação entre seus ângulos dada por

$$\widehat{BAC}>\widehat{BCA}>\widehat{ABC}.$$

Dada a circunferência inscrita no triângulo, interceptando-o nos pontos $P\in BC$, $Q\in AC$ e $R\in AB$.

Qual é o perímetro do quadrilátero convexo $PBRQ$?

1. Identificando os lados e os ângulos

Como os ângulos estão ordenados por

$$\widehat{A}>\widehat{C}>\widehat{B},$$

os lados opostos também estão ordenados:

$$BC>AB>AC.$$

Portanto,

$$BC=10,\qquad AB=5\sqrt{3},\qquad AC=5.$$

Pela lei dos cossenos, para o ângulo $A$:

$$\cos A = \frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}.$$

Substituindo:

$$\cos A = \frac{75+25-100}{2\cdot5\sqrt{3}\cdot5} =0.$$

Logo,

$$A=90^\circ.$$

Analogamente, para o ângulo $C$:

$$\cos C = \frac{BC^2+AC^2-AB^2}{2\cdot BC\cdot AC} = \frac{100+25-75}{100} =\frac12.$$

Assim,

$$C=60^\circ.$$

Consequentemente,

$$B=30^\circ.$$

2. Calculando o raio da circunferência inscrita

Como o triângulo é retângulo, seu raio inscrito é

$$r=\frac{AC+AB-BC}{2}.$$

Substituindo:

$$r=\frac{5+5\sqrt3-10}{2}.$$

Portanto,

$$\boxed{r=\frac{5(\sqrt3-1)}2}.$$

3. Calculando os segmentos tangentes

Os segmentos tangentes traçados de um mesmo ponto externo à circunferência possuem comprimentos iguais.

Assim,

$$PB=BR.$$

Como o semiperímetro do triângulo é

$$s=\frac{10+5+5\sqrt3}{2} =\frac{15+5\sqrt3}{2},$$

temos

$$PB=s-AC =\frac{15+5\sqrt3}{2}-5.$$

Logo,

$$\boxed{PB=BR=\frac{5(1+\sqrt3)}2}.$$

4. Calculando os segmentos $PQ$ e $QR$

O segmento $PQ$ é uma corda da circunferência. Como os raios até os pontos de tangência são perpendiculares aos lados, a geometria do triângulo formado pelo centro e pelos pontos de tangência fornece

$$PQ=2r\cos\frac C2.$$

Como $C=60^\circ$:

$$PQ=2r\cos30^\circ =2r\cdot\frac{\sqrt3}{2}.$$

Portanto,

$$\boxed{PQ=r\sqrt3}.$$

De modo semelhante,

$$QR=2r\cos\frac A2.$$

Como $A=90^\circ$:

$$QR=2r\cos45^\circ =2r\cdot\frac{\sqrt2}{2}.$$

Assim,

$$\boxed{QR=r\sqrt2}.$$

5. Calculando o perímetro

O perímetro do quadrilátero $PBRQ$ é

$$\begin{aligned} P_{PBRQ} &=PB+BR+RQ+QP\\ &=2PB+r\sqrt2+r\sqrt3. \end{aligned}$$

Substituindo os valores encontrados:

$$P_{PBRQ} = 5(1+\sqrt3) + \frac{5(\sqrt3-1)}2(\sqrt2+\sqrt3).$$

Colocando $\frac52$ em evidência:

$$P_{PBRQ} = \frac52 \left[ 2+2\sqrt3+(\sqrt3-1)(\sqrt2+\sqrt3) \right].$$

Desenvolvendo o produto:

$$(\sqrt3-1)(\sqrt2+\sqrt3) = \sqrt6+3-\sqrt2-\sqrt3.$$

Portanto,

$$\begin{aligned} P_{PBRQ} &=\frac52 \left[ 2+2\sqrt3+\sqrt6+3-\sqrt2-\sqrt3 \right]\\ &=\frac52 \left( 5-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6 \right). \end{aligned}$$

Conclusão

A alternativa correta é

$$\boxed{\text{A) }\frac52(5-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6)}.$$

🧩 Exercício 4 EFOMMMédio

Sejam os conjuntos naturais:

$$A=\{n\text{ é primo};\ 2\leq n\leq 36\};$$$$B=\{n\text{ é múltiplo de }3;\ 10\leq n\leq 36\};$$

e

$$C=A\times B.$$

Quantos elementos possui o conjunto

$$D=\{(a,b)\in C;\ a+b\text{ é par}\}?$$

1. Determinando os elementos de A

O conjunto (A) é formado pelos números primos entre 2 e 36:

$$A=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31\}.$$

Assim, temos:

• 1 número par: o número 2;
• 10 números ímpares.

2. Determinando os elementos de B

O conjunto (B) é formado pelos múltiplos de 3 entre 10 e 36:

$$B=\{12,15,18,21,24,27,30,33,36\}.$$

Separando os elementos pela paridade:

Números pares:

$$\{12,18,24,30,36\}.$$

São 5 números pares.

Números ímpares:

$$\{15,21,27,33\}.$$

São 4 números ímpares.

3. Quando a soma é par?

A soma de dois números é par quando ambos possuem a mesma paridade:

• par + par = par;
• ímpar + ímpar = par.

Portanto, precisamos contar os pares ordenados ((a,b)) em que ambos são pares ou ambos são ímpares.

4. Contando os pares ordenados

Caso 1: (a) e (b) são pares

Existem 1 escolha para (a) e 5 escolhas para (b):

$$1\cdot 5=5.$$

Caso 2: (a) e (b) são ímpares

Existem 10 escolhas para (a) e 4 escolhas para (b):

$$10\cdot 4=40.$$

Somando os dois casos:

$$|D|=5+40=45.$$

Conclusão

O conjunto $D$ possui 45 elementos.

Alternativa correta: D) 45.

🧩 Exercício 5 EFOMMMédio

Analise as afirmativas a seguir sobre operações de conjuntos.

I – $(A-B)\times C=(A\times C)-(B\times C)$.

II – $A\subset D$ e $B\subset E\Rightarrow A\times B\subset D\times E$.

III – Se $A,B,C$ são conjuntos, $A\cap B\neq\varnothing$ e $A\cup B=C$, então $B=C-A$.

IV – $(A-B)\cup(B-A)=(A-C)\cup(C-A)\Leftrightarrow B=C$.

Assinale a opção correta.

1. Analisando a afirmativa I

A afirmativa é:

$$(A-B)\times C=(A\times C)-(B\times C).$$

O conjunto $(A-B)\times C$ contém os pares ordenados $(a,c)$ tais que $a\in A-B$ e $c\in C$.

Como $a\in A-B$ significa que $a\in A$ e $a\notin B$, temos:

$$(A-B)\times C = \{(a,c)\in A\times C;\ a\notin B\}.$$

Por outro lado, $(A\times C)-(B\times C)$ representa justamente os pares de $A\times C$ cuja primeira coordenada não pertence a $B$.

Logo,

$$(A-B)\times C=(A\times C)-(B\times C).$$

A afirmativa I é verdadeira.

2. Analisando a afirmativa II

Temos:

$$A\subset D \quad\text{e}\quad B\subset E.$$

Se $(a,b)\in A\times B$, então $a\in A$ e $b\in B$.

Como $A\subset D$ e $B\subset E$, segue que:

$$a\in D \quad\text{e}\quad b\in E.$$

Portanto, $(a,b)\in D\times E$, ou seja,

$$A\times B\subset D\times E.$$

A afirmativa II é verdadeira.

3. Analisando a afirmativa III

A afirmativa diz que, se

$$A\cap B\neq\varnothing \quad\text{e}\quad A\cup B=C,$$

então $B=C-A$.

Entretanto, $C-A$ representa os elementos de $C$ que não pertencem a $A$.

Como $C=A\cup B$, temos:

$$C-A=(A\cup B)-A=B-A.$$

Assim, a igualdade proposta seria:

$$B=B-A.$$

Isso exigiria que nenhum elemento de $B$ pertencesse a $A$, isto é, que $A\cap B=\varnothing$.

Mas a hipótese afirma que:

$$A\cap B\neq\varnothing.$$

Portanto, a afirmativa III é falsa.

4. Analisando a afirmativa IV

A afirmativa é:

$$(A-B)\cup(B-A)=(A-C)\cup(C-A) \Leftrightarrow B=C.$$

A expressão $(A-B)\cup(B-A)$ é a diferença simétrica entre $A$ e $B$, representada por $A\triangle B$.

Assim, a igualdade pode ser escrita como:

$$A\triangle B=A\triangle C \Leftrightarrow B=C.$$

Se $B=C$, é imediato que $A\triangle B=A\triangle C$.

Reciprocamente, supondo que $A\triangle B=A\triangle C$, podemos tomar a diferença simétrica com $A$ nos dois lados:

$$(A\triangle B)\triangle A = (A\triangle C)\triangle A.$$

Usando as propriedades da diferença simétrica, temos:

$$B=C.$$

Portanto, a afirmativa IV é verdadeira.

5. Conclusão

As afirmativas verdadeiras são I, II e IV.

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{A) Apenas I, II e IV são verdadeiras.}}$$

🧩 Exercício 6 EFOMMMédio

Quais as relações entre $a,b,c\in\mathbb{R}_+^*$, com $a,b,c\neq 1$, $a\neq c$ e $b\neq \frac{1}{c}$, para que a equação abaixo seja válida?

$$\log_a\left((bc)^\beta\right) \cdot \log_b\left(\left(\frac{a}{c}\right)^\alpha\right) \cdot \log_c b = \alpha\beta(A-B+C-D),$$

em que

$$\begin{aligned} A&=\log_c(a)\cdot\log_a(b)\cdot\log_b(a),\\ B&=\log_a(b)\cdot\log_b(c)\cdot\log_c(a),\\ C&=\log_a(c)\cdot\log_c(a)\cdot\log_b(a),\\ D&=\log_a(c)\cdot\log_b(c)\cdot\log_c(a), \end{aligned}$$

tal que $\alpha,\beta\in\mathbb{R}^*$.

1. Simplificando o primeiro membro

Utilizando a propriedade

$$\log_a(x^r)=r\log_a x,$$

temos:

$$\log_a\left((bc)^\beta\right) = \beta\log_a(bc).$$

Pela propriedade do logaritmo de um produto:

$$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c.$$

Portanto,

$$\log_a\left((bc)^\beta\right) = \beta(\log_a b+\log_a c).$$

De maneira semelhante:

$$\log_b\left(\left(\frac ac\right)^\alpha\right) = \alpha\log_b\left(\frac ac\right)$$

e

$$\log_b\left(\frac ac\right) = \log_b a-\log_b c.$$

Assim, o primeiro membro da equação torna-se:

$$\alpha\beta (\log_a b+\log_a c) (\log_b a-\log_b c) \log_c b.$$

Como $\alpha,\beta\neq0$, podemos dividir ambos os membros por $\alpha\beta$.

Obtemos:

$$(\log_a b+\log_a c) (\log_b a-\log_b c) \log_c b = A-B+C-D.$$

2. Simplificando o segundo membro

Vamos utilizar a propriedade da mudança de base:

$$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}.$$

Para facilitar os cálculos, definimos:

$$x=\ln a,\qquad y=\ln b,\qquad z=\ln c.$$

Como $a,b,c\neq1$, temos $x,y,z\neq0$.

Agora, cada termo pode ser escrito como:

$$A= \frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y} = \frac{x}{z}.$$$$B= \frac{y}{x}\cdot\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z} =1.$$$$C= \frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}\cdot\frac{x}{y} = \frac{x}{y}.$$$$D= \frac{z}{x}\cdot\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z} = \frac{z}{y}.$$

Logo,

$$A-B+C-D = \frac{x}{z}-1+\frac{x}{y}-\frac{z}{y}.$$

3. Igualando os dois membros

O primeiro membro, em função de $x,y,z$, é:

$$\begin{aligned} &\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right) \left(\frac{x}{y}-\frac{z}{y}\right) \frac{y}{z}\\[4pt] &=\frac{(y+z)(x-z)}{xz}. \end{aligned}$$

Portanto, a equação fica:

$$\frac{(y+z)(x-z)}{xz} = \frac{x}{z}-1+\frac{x}{y}-\frac{z}{y}.$$

Multiplicando os dois membros por $xyz$, que é diferente de zero:

$$y(y+z)(x-z) = x^2y-xyz+x^2z-xz^2.$$

Desenvolvendo e reorganizando:

$$0=-(x-y)(x-z)(y+z).$$

Assim,

$$(x-y)(x-z)(y+z)=0.$$

4. Utilizando as condições do enunciado

Um produto é nulo quando pelo menos um dos fatores é nulo. Portanto:

$$x-y=0 \quad\text{ou}\quad x-z=0 \quad\text{ou}\quad y+z=0.$$

Como $x=\ln a$, $y=\ln b$ e $z=\ln c$, temos:

Primeira possibilidade:

$$x-y=0 \Rightarrow \ln a=\ln b \Rightarrow a=b.$$

Segunda possibilidade:

$$x-z=0 \Rightarrow \ln a=\ln c \Rightarrow a=c.$$

Mas o enunciado estabelece que $a\neq c$. Essa possibilidade é descartada.

Terceira possibilidade:

$$y+z=0 \Rightarrow \ln b+\ln c=0.$$

Logo,

$$\ln(bc)=0 \Rightarrow bc=1 \Rightarrow b=\frac1c.$$

Entretanto, o enunciado estabelece que $b\neq\frac1c$. Essa possibilidade também é descartada.

Portanto, resta somente:

$$a=b.$$

Conclusão

A relação procurada é:

$$\boxed{a-b=0}.$$

Alternativa correta: B) $a-b=0$.

🧩 Exercício 8 EFOMMMédio

Um casal pretende tomar uma quantia de R$ 200.000,00 com o banco, em cem prestações no Sistema de Amortização Constante (SAC), para a compra de sua casa própria. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, qual é o valor da 41ª prestação?

1. Calculando a amortização mensal

No Sistema de Amortização Constante (SAC), a amortização é igual em todas as prestações.

Como o valor financiado é de R$ 200.000,00, dividido em 100 prestações, temos:

$$A=\frac{200.000}{100}$$$$\boxed{A=2.000}$$

Portanto, a cada mês, a dívida é reduzida em R$ 2.000,00.

2. Calculando o saldo devedor antes da 41ª prestação

Antes de pagar a 41ª prestação, o casal já terá pago 40 prestações.

Assim, o saldo devedor será:

$$SD_{40}=200.000-40\cdot 2.000$$$$SD_{40}=200.000-80.000$$$$\boxed{SD_{40}=120.000}$$

3. Calculando os juros da 41ª prestação

Os juros de cada prestação são calculados sobre o saldo devedor do mês anterior.

Como a taxa de juros é de 2% ao mês:

$$J_{41}=0,02\cdot 120.000$$$$\boxed{J_{41}=2.400}$$

4. Calculando a 41ª prestação

No SAC, o valor da prestação é a soma da amortização com os juros:

$$P_{41}=A+J_{41}$$

Substituindo os valores:

$$P_{41}=2.000+2.400$$$$\boxed{P_{41}=\text{R\$ }4.400,00}$$

Conclusão

A 41ª prestação será de R$ 4.400,00.

Alternativa correta: C) R$ 4.400,00.

🧩 Exercício 9 EFOMMMédio

Quantas raízes reais e complexas não reais possui a equação

$$\left(x+\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right) x^2(x+1)(x+2)(x+3)^2 \left(x+\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)-5=0?$$

1. Simplificando os fatores

Observe que

$$\begin{aligned} &\left(x+\frac{3-\sqrt{17}}{2}\right) \left(x+\frac{3+\sqrt{17}}{2}\right)\\[4pt] &=x^2+3x+\frac{9-17}{4}\\[4pt] &=x^2+3x-2. \end{aligned}$$

Além disso,

$$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2.$$

A equação fica

$$x^2(x+3)^2(x^2+3x+2)(x^2+3x-2)=5.$$

2. Fazendo a substituição

Como os fatores apresentam repetidamente o termo $x^2+3x$, vamos fazer

$$y=x^2+3x.$$

Assim,

$$x(x+3)=y$$

e, consequentemente,

$$x^2(x+3)^2=y^2.$$

Também temos

$$(x+1)(x+2)=y+2$$

e

$$x^2+3x-2=y-2.$$

Substituindo tudo na equação original:

$$y^2(y+2)(y-2)=5.$$

Usando o produto notável:

$$y^2(y^2-4)=5.$$

Desenvolvendo:

$$y^4-4y^2-5=0.$$

3. Resolvendo a equação biquadrada

Fazemos uma segunda substituição:

$$z=y^2.$$

Obtemos

$$z^2-4z-5=0.$$

Fatorando:

$$(z-5)(z+1)=0.$$

Portanto,

$$z=5 \quad\text{ou}\quad z=-1.$$

Como $z=y^2$, temos

$$y^2=5 \quad\text{ou}\quad y^2=-1.$$

4. Contando as raízes reais

Caso 1: $y^2=5$

Como $y=x^2+3x$,

$$x^2+3x=\pm\sqrt{5}.$$

Para $y=\sqrt{5}$:

$$x^2+3x-\sqrt{5}=0.$$

Seu discriminante é

$$\Delta_1=9+4\sqrt{5}>0.$$

Logo, essa equação possui duas raízes reais distintas.

Para $y=-\sqrt{5}$:

$$x^2+3x+\sqrt{5}=0.$$

Seu discriminante é

$$\Delta_2=9-4\sqrt{5}>0.$$

Logo, essa equação também possui duas raízes reais distintas.

Portanto, encontramos 4 raízes reais.

Caso 2: $y^2=-1$

Temos

$$y=\pm i.$$

Isso conduz às equações

$$x^2+3x-i=0$$

e

$$x^2+3x+i=0.$$

Cada uma possui duas raízes complexas não reais. Assim, obtemos 4 raízes complexas não reais.

5. Resposta

A equação possui 8 raízes complexas contando multiplicidades, das quais 4 são reais e 4 são não reais.

Portanto, a alternativa correta é C.

🧩 Exercício 10 EFOMMMédio

Sobre funções, analise as afirmativas abaixo:

I. A função $\tan(x)$, com $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$, é sobrejetora em $\mathbb{R}_+$, e a função $\operatorname{sen}(x)$, com $x\in\mathbb{R}$, é injetora.

II. As imagens da família de funções $f(x)=a|x|+b$, com $a,b\in\mathbb{R}$, não contêm números negativos.

III. A função exponencial de base $a$, definida por $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+$, é denotada por $f(x)=a^x$, onde $a$ é um número real positivo e diferente de $1$. Suponha que as funções $g(x)=b\cdot a^x$ e $G(x)=B\cdot A^x$, com as constantes $a,b,A,B\in\mathbb{R}_+$, satisfaçam $g(x_1)=G(x_1)$ e $g(x_2)=G(x_2)$ para $x_1\neq x_2$. Nesse caso, temos que $a=A$ e $b=B$.

IV. Funções quadráticas e racionais são definidas em todo o conjunto real.

V. Se a função $f$ não é injetora nem sobrejetora e a função $g$ não é injetora, então a função composta $g\circ f$ não é sobrejetora.

Assinale a opção correta.

Análise da afirmativa I

A função $\tan(x)$, restrita ao intervalo $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)$, assume valores em $\mathbb{R}_+$ e é sobrejetora nesse conjunto.

Entretanto, a função $\operatorname{sen}(x)$ não é injetora em $\mathbb{R}$, pois existem valores distintos de $x$ que possuem o mesmo seno. Por exemplo,

$$\operatorname{sen}(0)=\operatorname{sen}(\pi)=0.$$

Logo, a afirmativa I é falsa.

Análise da afirmativa II

Considere a família

$$f(x)=a|x|+b, \qquad a,b\in\mathbb{R}.$$

Escolhendo $a=0$ e $b=-1$, temos

$$f(x)=-1.$$

Portanto, a imagem dessa função contém um número negativo.

Logo, a afirmativa II é falsa.

Análise da afirmativa III

Temos

$$g(x)=b\cdot a^x$$

e

$$G(x)=B\cdot A^x.$$

Pela hipótese,

$$b\cdot a^{x_1}=B\cdot A^{x_1}$$

e

$$b\cdot a^{x_2}=B\cdot A^{x_2}.$$

Dividindo a primeira igualdade pela segunda, obtemos

$$\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = \frac{A^{x_1}}{A^{x_2}}.$$

Assim,

$$a^{x_1-x_2}=A^{x_1-x_2}.$$

Como $x_1\neq x_2$ e as bases são positivas, concluímos que

$$a=A.$$

Substituindo essa igualdade em uma das equações iniciais,

$$b\cdot a^{x_1}=B\cdot a^{x_1}.$$

Como $a^{x_1}>0$, podemos dividir os dois lados por $a^{x_1}$:

$$b=B.$$

Portanto, a afirmativa III é verdadeira.

Análise da afirmativa IV

Uma função quadrática tem a forma

$$f(x)=ax^2+bx+c, \qquad a\neq 0,$$

e está definida para todo $x\in\mathbb{R}$.

Entretanto, uma função racional é dada pelo quociente de dois polinômios, e seu domínio exclui os valores que anulam o denominador.

Por exemplo,

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

não está definida em $x=0$.

Logo, a afirmativa IV é falsa.

Análise da afirmativa V

A afirmação é falsa. O fato de $f$ não ser sobrejetora não impede que a função composta $g\circ f$ seja sobrejetora.

Considere, por exemplo,

$$f:\mathbb{R}\to\{0,1,2\}$$

definida por

$$f(x)= \begin{cases} 0, & x\leq 0,\\ 1, & x>0. \end{cases}$$

Essa função não é injetora nem sobrejetora.

Agora, considere

$$g:\{0,1,2\}\to\{0,1\}$$

definida por

$$g(0)=0,\qquad g(1)=1,\qquad g(2)=1.$$

A função $g$ não é injetora, pois $g(1)=g(2)$.

Porém, a composta $g\circ f$ assume os valores $0$ e $1$, sendo sobrejetora em $\{0,1\}$.

Logo, a afirmativa V é falsa.

Resposta

Apenas a afirmativa III é verdadeira.

Alternativa C.

🧩 Exercício 11 EFOMMMédio

No antigo reino de Algébria havia um lendário artesão chamado Eudóxio, famoso por suas impressionantes criações geométricas. O rei de Algébria desafiou Eudóxio a criar uma ponte suspensa, seguindo a curva da função $f(x)=x^{3/2}$ entre os pontos $(1,1)$ e $(4,8)$.

Para calcular a quantidade de material necessário, Eudóxio precisa determinar o comprimento exato dessa curva. Ajude Eudóxio, calculando o comprimento de arco da função $f(x)$ entre os pontos fornecidos.

1. Fórmula do comprimento de arco

Para uma função $y=f(x)$, derivável no intervalo $[a,b]$, o comprimento de arco é dado por

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\,dx.$$

Neste problema,

$$f(x)=x^{3/2}$$

e o intervalo é $[1,4]$.

2. Calculando a derivada

Derivando a função, temos

$$f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}.$$

Elevando ao quadrado:

$$\left(f'(x)\right)^2 = \frac{9}{4}x.$$

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:

$$L=\int_1^4\sqrt{1+\frac{9x}{4}}\,dx.$$

3. Resolvendo a integral

Fazemos a substituição

$$u=1+\frac{9x}{4}.$$

Assim,

$$du=\frac94\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac49\,du.$$

Alterando os limites de integração:

• Para $x=1$, temos $u=\frac{13}{4}$.
• Para $x=4$, temos $u=10$.

Portanto,

$$L=\frac49\int_{\frac{13}{4}}^{10}u^{1/2}\,du.$$

Integrando:

$$L=\frac49\left[\frac23u^{3/2}\right]_{\frac{13}{4}}^{10}.$$

Logo,

$$L=\frac{8}{27} \left[ 10^{3/2}-\left(\frac{13}{4}\right)^{3/2} \right].$$

4. Simplificando o resultado

Temos

$$10^{3/2}=10\sqrt{10}$$

e

$$\left(\frac{13}{4}\right)^{3/2} = \frac{13\sqrt{13}}{8}.$$

Substituindo:

$$L=\frac{8}{27} \left( 10\sqrt{10}-\frac{13\sqrt{13}}{8} \right).$$

Distribuindo o fator:

$$L=\frac{80\sqrt{10}-13\sqrt{13}}{27}.$$

Resposta

O comprimento exato da curva é

$$\boxed{L=\frac{1}{27}\left(80\sqrt{10}-13\sqrt{13}\right)}.$$

Alternativa E.

🧩 Exercício 12 EFOMMMédio

Calcule o volume do sólido reto com altura $h=12$, cuja base é definida, no primeiro quadrante, abaixo dos gráficos das funções $g$ e $h$ e acima do gráfico da função $f$, onde

$$\begin{aligned} f(x)&=x^2-8x+17,\\ g(x)&=x^2-4x+9,\\ h(x)&=x^2-12x+41. \end{aligned}$$

1. Interpretando a região da base

A base do sólido é a região do primeiro quadrante que está acima do gráfico de $f(x)$ e abaixo dos gráficos de $g(x)$ e $h(x)$.

Para determinar os limites de integração, precisamos encontrar os pontos de interseção entre essas funções.

2. Encontrando os pontos de interseção

Interseção entre $f$ e $g$:

$$x^2-8x+17=x^2-4x+9$$

Simplificando:

$$-4x=-8$$$$x=2$$

Interseção entre $f$ e $h$:

$$x^2-8x+17=x^2-12x+41$$

Simplificando:

$$4x=24$$$$x=6$$

Interseção entre $g$ e $h$:

$$x^2-4x+9=x^2-12x+41$$$$8x=32$$$$x=4$$

Portanto, a região da base se divide em dois intervalos: de $x=2$ até $x=4$, a curva superior é $g(x)$; de $x=4$ até $x=6$, a curva superior é $h(x)$.

3. Calculando a área da base

A área entre duas curvas é calculada pela integral da diferença entre a função superior e a inferior.

Assim,

$$A=\int_2^4 [g(x)-f(x)]\,dx +\int_4^6 [h(x)-f(x)]\,dx.$$

Calculando as diferenças:

$$\begin{aligned} g(x)-f(x) &=x^2-4x+9-(x^2-8x+17)\\ &=4x-8 \end{aligned}$$

e

$$\begin{aligned} h(x)-f(x) &=x^2-12x+41-(x^2-8x+17)\\ &=-4x+24. \end{aligned}$$

Logo,

$$A=\int_2^4(4x-8)\,dx +\int_4^6(-4x+24)\,dx.$$

Resolvendo a primeira integral:

$$\begin{aligned} A_1 &=[2x^2-8x]_2^4\\ &=(32-32)-(8-16)\\ &=8. \end{aligned}$$

Resolvendo a segunda integral:

$$\begin{aligned} A_2 &=[-2x^2+24x]_4^6\\ &=(-72+144)-(-32+96)\\ &=72-64\\ &=8. \end{aligned}$$

Portanto, a área da base é

$$A=A_1+A_2=8+8=16.$$

4. Calculando o volume do sólido

Como o sólido é reto, seu volume é o produto da área da base pela altura:

$$V=A\cdot h.$$

Substituindo $A=16$ e $h=12$:

$$V=16\cdot12.$$$$\boxed{V=192\text{ u.v.}}$$

Resposta

Alternativa B) 192 u.v.

🧩 Exercício 13 EFOMMMédio

Sejam $\alpha,\lambda\in\mathbb{R}$, $I_{n\times n}$ a matriz identidade de ordem $n$ e $J_{n\times n}$ a matriz com todas as entradas iguais a $1$, com ordem $n$.

Qual o resultado do produto das matrizes $B_{n\times n}x_{n\times1}$, tal que vale a igualdade

$$A_{n\times n}+B_{n\times n} = \alpha I_{n\times n}+J_{n\times n}$$

com as seguintes propriedades:

• P₁: $A_{n\times n}x_{n\times1}=\lambda x_{n\times1}$;
• P₂: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i1}=0$, sendo

$$x_{n\times1}= \begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{21}\\ \vdots\\ x_{n1} \end{bmatrix}.$$

1. Multiplicando a igualdade por $x$

A igualdade fornecida é

$$A+B=\alpha I+J.$$

Multiplicando ambos os lados, à direita, pelo vetor $x$, temos

$$(A+B)x=(\alpha I+J)x.$$

Pela propriedade distributiva,

$$Ax+Bx=\alpha Ix+Jx.$$

2. Utilizando as propriedades

Pela propriedade P₁,

$$Ax=\lambda x.$$

Além disso, como $I$ é a matriz identidade,

$$Ix=x.$$

Substituindo essas relações, obtemos

$$\lambda x+Bx=\alpha x+Jx.$$

3. Calculando o produto $Jx$

Como todas as entradas da matriz $J$ são iguais a $1$, temos

$$Jx= \begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1\\ 1&1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&\cdots&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{21}\\ \vdots\\ x_{n1} \end{bmatrix}.$$

Cada componente do vetor resultante é igual à soma das componentes de $x$. Portanto,

$$Jx= \begin{bmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i1}\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i1}\\ \vdots\\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i1} \end{bmatrix}.$$

Pela propriedade P₂,

$$\sum_{i=1}^{n}x_{i1}=0.$$

Logo,

$$Jx= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} =0.$$

4. Isolando o produto $Bx$

Retomando a igualdade,

$$\lambda x+Bx=\alpha x+Jx,$$

e utilizando $Jx=0$, temos

$$\lambda x+Bx=\alpha x.$$

Isolando $Bx$:

$$Bx=\alpha x-\lambda x.$$

Colocando $x$ em evidência,

$$\boxed{Bx=(\alpha-\lambda)x}.$$

Resposta

Alternativa C) $(\alpha-\lambda)x_{n\times1}$.

🧩 Exercício 14 EFOMMFácil

Seja $X$ uma variável aleatória que representa a altura, em centímetros, de alunos de um curso de estatística.

Em uma amostra de oito alunos, observam-se as alturas:

$$160;\ 162;\ 179;\ 169;\ 162;\ 162;\ 175;\ 167.$$

Utilizando a amostra observada, qual a média, a variância, a mediana e a moda da variável aleatória $X$, respectivamente?

1. Organizando os dados

Primeiro, colocamos as alturas em ordem crescente:

$$160;\ 162;\ 162;\ 162;\ 167;\ 169;\ 175;\ 179.$$

Temos $n=8$ observações.

2. Calculando a média

A média aritmética é a soma dos valores dividida pela quantidade de observações:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}.$$

Substituindo os valores:

$$\bar{x}= \frac{160+162+179+169+162+162+175+167}{8}.$$$$\bar{x}=\frac{1336}{8}.$$$$\boxed{\bar{x}=167}$$

3. Calculando a variância amostral

A variância amostral é calculada por

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}.$$

Como $\bar{x}=167$, temos:

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{8}(x_i-167)^2 ={}&(160-167)^2+(162-167)^2\\ &+(179-167)^2+(169-167)^2\\ &+(162-167)^2+(162-167)^2\\ &+(175-167)^2+(167-167)^2. \end{aligned}$$

Calculando os quadrados:

$$49+25+144+4+25+25+64+0=336.$$

Logo,

$$s^2=\frac{336}{8-1}.$$$$s^2=\frac{336}{7}.$$$$\boxed{s^2=48}$$

4. Calculando a mediana

Como temos oito valores, a quantidade de observações é par. A mediana é a média entre o quarto e o quinto valores da lista ordenada.

$$\operatorname{Md}=\frac{162+167}{2}.$$$$\boxed{\operatorname{Md}=164{,}5}$$

5. Calculando a moda

A moda é o valor que aparece com maior frequência.

O número $162$ aparece três vezes, mais do que qualquer outra altura.

$$\boxed{\operatorname{Mo}=162}$$

Resposta

A média, a variância amostral, a mediana e a moda são, respectivamente,

$$\boxed{167;\ 48;\ 164{,}5;\ 162}.$$

Alternativa E.

🧩 Exercício 16 EFOMMMédio

Um reservatório cônico está sendo cheio a uma vazão de $2\,\text{m}^3/\text{s}$. O reservatório possui $9$ metros de altura e sua base possui $6$ metros de diâmetro.

O quão rápido o nível da água está subindo quando a água estiver a $6$ metros do topo?

1. Identificando as grandezas

O reservatório tem formato de cone, com altura total $H=9\,\text{m}$ e raio da base $R=3\,\text{m}$.

A água entra com vazão constante:

$$\frac{dV}{dt}=2\,\text{m}^3/\text{s}.$$

Queremos determinar a taxa de variação da altura da água, $\frac{dh}{dt}$, quando a superfície da água estiver a $6\,\text{m}$ do topo.

Como a altura total do cone é $9\,\text{m}$, a altura da água nesse instante é

$$h=9-6=3\,\text{m}.$$

2. Relacionando o raio e a altura da água

Os triângulos formados pelo cone inteiro e pela água são semelhantes. Portanto,

$$\frac{r}{h}=\frac{R}{H}.$$

Substituindo $R=3$ e $H=9$:

$$\frac{r}{h}=\frac{3}{9}=\frac13.$$

Logo,

$$r=\frac{h}{3}.$$

3. Escrevendo o volume em função da altura

O volume de um cone é

$$V=\frac13\pi r^2h.$$

Substituindo $r=\frac{h}{3}$:

$$V=\frac13\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2h.$$

Simplificando:

$$V=\frac{\pi h^3}{27}.$$

4. Derivando em relação ao tempo

Como o volume e a altura variam com o tempo, derivamos ambos os lados em relação a $t$:

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{27}\cdot3h^2\frac{dh}{dt}.$$

Assim,

$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt}.$$

Isolando $\frac{dh}{dt}$:

$$\frac{dh}{dt} = \frac{9}{\pi h^2}\frac{dV}{dt}.$$

5. Calculando a taxa de subida

No instante considerado, temos $h=3\,\text{m}$ e $\frac{dV}{dt}=2\,\text{m}^3/\text{s}$.

Substituindo:

$$\frac{dh}{dt} = \frac{9}{\pi\cdot3^2}\cdot2.$$$$\frac{dh}{dt} = \frac{18}{9\pi}.$$

Portanto,

$$\boxed{\frac{dh}{dt}=\frac{2}{\pi}\,\text{m/s}}.$$

Resposta

O nível da água está subindo à taxa de $\frac{2}{\pi}\,\text{m/s}$.

Alternativa E.

🧩 Exercício 18 EFOMMMédio

Sejam $A_1,A_2,A_3,A_4$ os quatro primeiros termos de uma progressão geométrica (P.G.) e $a_1,a_2,a_3,a_4$ os quatro primeiros termos de uma progressão aritmética (P.A.), respectivamente, tais que:

$$\begin{aligned} A_1&=a_4-a_3\\ a_1&=A_1-5\\ a_2&=A_1+1\\ a_4+4(a_3-a_2)&=A_2+1 \end{aligned}$$

Sejam $A_n$ o $n$-ésimo termo da P.G. e $a_n$ o $n$-ésimo termo da P.A.

Logo,

$$\frac{A_{10}A_{999}^{5}} {(a_{50}-1)A_{1000}^{5}}$$

é igual a:

1. Determinando a razão da P.A.

Seja $r$ a razão da P.G. e $d$ a razão da P.A.

Como $a_4-a_3=d$, a primeira condição fornece

$$A_1=d.$$

Pela segunda condição,

$$a_1=d-5.$$

Sabemos que

$$a_2=a_1+d.$$

Utilizando também a terceira condição, $a_2=A_1+1=d+1$, temos

$$(d-5)+d=d+1.$$

Logo,

$$2d-5=d+1$$$$d=6.$$

Portanto,

$$A_1=6.$$

2. Determinando a P.G.

Da quarta condição,

$$a_4+4(a_3-a_2)=A_2+1.$$

Como a razão da P.A. é $d=6$, temos

$$a_3-a_2=6$$

e

$$a_4=a_1+3d=1+18=19.$$

Substituindo:

$$19+4\cdot6=A_2+1.$$$$43=A_2+1$$$$A_2=42.$$

A razão da P.G. é

$$r=\frac{A_2}{A_1} =\frac{42}{6}=7.$$

Assim, o termo geral da P.G. é

$$\boxed{A_n=6\cdot7^{n-1}}.$$

3. Determinando o termo geral da P.A.

Como $a_1=1$ e $d=6$, temos

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Substituindo:

$$a_n=1+6(n-1).$$

Portanto,

$$\boxed{a_n=6n-5}.$$

Em particular,

$$a_{50}=6\cdot50-5=295.$$

Logo,

$$a_{50}-1=294.$$

4. Simplificando a expressão

Queremos calcular

$$\frac{A_{10}A_{999}^{5}} {(a_{50}-1)A_{1000}^{5}}.$$

Como

$$A_n=6\cdot7^{n-1},$$

temos

$$\frac{A_{999}}{A_{1000}} = \frac{6\cdot7^{998}}{6\cdot7^{999}} =\frac17.$$

Assim,

$$\begin{aligned} \frac{A_{10}A_{999}^{5}} {(a_{50}-1)A_{1000}^{5}} &= \frac{A_{10}}{a_{50}-1} \left(\frac{A_{999}}{A_{1000}}\right)^5\\[6pt] &= \frac{6\cdot7^9}{294} \left(\frac17\right)^5. \end{aligned}$$

Como $294=6\cdot49=6\cdot7^2$, obtemos

$$\begin{aligned} \frac{6\cdot7^9}{6\cdot7^2} \cdot\frac{1}{7^5} &=7^{9-2-5}\\ &=7^2\\ &=49. \end{aligned}$$

5. Identificando a alternativa

Pela expressão do termo geral da P.A.,

$$a_9=6\cdot9-5=49.$$

Portanto,

$$\boxed{ \frac{A_{10}A_{999}^{5}} {(a_{50}-1)A_{1000}^{5}} =a_9 }$$

Alternativa D.

🧩 Exercício 19 EFOMMMédio

Dadas as funções $f$ e $g$ definidas abaixo:

• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5$, com o gráfico de $f$ restrito ao conjunto $B\times C$, tal que $B=\{x\in\mathbb{R};\,|x|\geq3\}$ e $C=\{y\in\mathbb{R};\,|y|\leq30\}$;
• $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2$, com o gráfico de $g$ restrito ao conjunto $B\times D$, tal que $B=\{x\in\mathbb{R};\,|x|\geq3\}$ e $D=\{y\in\mathbb{R};\,|y|\leq25\}$.

Calcule a área entre elas.

1. Determinando os intervalos do domínio

A função $f(x)=x^2+5$ está restrita aos pontos que satisfazem

$$|x|\geq3 \quad\text{e}\quad |f(x)|\leq30.$$

Como $f(x)=x^2+5$ é sempre positiva, temos

$$x^2+5\leq30.$$

Logo,

$$x^2\leq25 \quad\Rightarrow\quad |x|\leq5.$$

Combinando as condições:

$$3\leq|x|\leq5.$$

Portanto, os intervalos são

$$[-5,-3]\cup[3,5].$$

Para $g(x)=x^2$, a restrição $|g(x)|\leq25$ também resulta em $|x|\leq5$. Assim, os gráficos estão definidos nos mesmos intervalos.

2. Calculando a diferença entre as funções

Em todo o domínio considerado,

$$f(x)-g(x)=(x^2+5)-x^2.$$

Portanto,

$$f(x)-g(x)=5.$$

A distância vertical entre os gráficos é constante e igual a $5$ unidades.

3. Calculando a área entre os gráficos

A região está dividida em dois intervalos: $[-5,-3]$ e $[3,5]$.

Assim, a área total é

$$A= \int_{-5}^{-3}[f(x)-g(x)]\,dx + \int_3^5[f(x)-g(x)]\,dx.$$

Substituindo a diferença constante:

$$A=\int_{-5}^{-3}5\,dx+\int_3^5 5\,dx.$$

Calculando:

$$A=5[-3-(-5)]+5[5-3].$$$$A=5\cdot2+5\cdot2.$$$$\boxed{A=20\text{ u.a.}}$$

Resposta

Alternativa B) 20 u.a.

🧩 Exercício 20 EFOMMMédio

Considere a hipérbole

$$9y^2-16x^2-144=0$$

e tome o ponto $A$ seu vértice no eixo $y$ positivo e o ponto $E$ seu vértice no eixo $y$ negativo.

Tome $B$ e $D$, respectivamente, como os pontos com o maior e o menor valor da coordenada $y$ no lugar geométrico

$$x^2+y^2-10x+9=0.$$

Tome $C$ e $F$, respectivamente, como os pontos com o maior e o menor valor da coordenada $x$ no lugar geométrico

$$64x^2+121y^2-320x-1536=0.$$

Qual a área do polígono convexo $ABCDEF$?

1. Determinando os vértices $A$ e $E$

A hipérbole é dada por

$$9y^2-16x^2=144.$$

Para encontrar os vértices sobre o eixo $y$, fazemos $x=0$:

$$9y^2=144.$$$$y^2=16 \quad\Rightarrow\quad y=\pm4.$$

Portanto,

$$A=(0,4) \qquad\text{e}\qquad E=(0,-4).$$

2. Determinando os pontos $B$ e $D$

O lugar geométrico é

$$x^2+y^2-10x+9=0.$$

Completando o quadrado:

$$(x-5)^2+y^2=16.$$

Essa é uma circunferência de centro $(5,0)$ e raio $4$.

Os pontos de maior e menor coordenada $y$ são

$$B=(5,4) \qquad\text{e}\qquad D=(5,-4).$$

3. Determinando os pontos $C$ e $F$

O lugar geométrico é

$$64x^2+121y^2-320x-1536=0.$$

Agrupando os termos em $x$:

$$64(x^2-5x)+121y^2=1536.$$

Completando o quadrado:

$$64\left(x-\frac52\right)^2+121y^2=1936.$$

Para encontrar os extremos de $x$, fazemos $y=0$:

$$64\left(x-\frac52\right)^2=1936.$$$$\left(x-\frac52\right)^2=\frac{121}{4}.$$

Logo,

$$x-\frac52=\pm\frac{11}{2}.$$

Assim,

$$x=8 \qquad\text{ou}\qquad x=-3.$$

Portanto,

$$C=(8,0) \qquad\text{e}\qquad F=(-3,0).$$

4. Calculando a área do polígono

Os vértices, na ordem indicada, são

$$\begin{aligned} A&=(0,4),& B&=(5,4),\\ C&=(8,0),& D&=(5,-4),\\ E&=(0,-4),& F&=(-3,0). \end{aligned}$$

Aplicamos a fórmula de Shoelace:

$$\mathcal{A} = \frac12 \left| \sum_{i=1}^{6}x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{6}y_i x_{i+1} \right|.$$

Repetindo o primeiro vértice ao final:

$$\begin{aligned} \mathcal{A} =\frac12\big|& (0\cdot4+5\cdot0+8\cdot(-4)\\ &+5\cdot(-4)+0\cdot0+(-3)\cdot4)\\ -& (4\cdot5+4\cdot8+0\cdot5\\ &+(-4)\cdot0+(-4)\cdot(-3)+0\cdot0) \big|. \end{aligned}$$

Simplificando:

$$\mathcal{A} =\frac12|-64-64|.$$

Portanto,

$$\boxed{\mathcal{A}=64\text{ u.a.}}$$

Resposta

Alternativa A) 64 u.a.