Equações Exponenciais

🧩 Exercício 1 ITA/74Médio

Sobre a raiz da equação

$$3^x-\frac{15}{3^{x-1}}+3^{x-3} = \frac{23}{3^{x-2}},$$

podemos afirmar que ela:

Vamos colocar:

$$t=3^x, \qquad t>0.$$

Então:

$$3^{x-1}=\frac{t}{3}, \qquad 3^{x-3}=\frac{t}{27}, \qquad 3^{x-2}=\frac{t}{9}.$$

Substituindo:

$$t-\frac{15}{t/3}+\frac{t}{27} = \frac{23}{t/9}.$$

Logo:

$$t-\frac{45}{t}+\frac{t}{27} = \frac{207}{t}.$$

Multiplicando por $27t$:

$$27t^2-1215+t^2=5589.$$

Portanto:

$$28t^2=6804.$$

Assim:

$$t^2=243.$$

Como $t>0$:

$$t=\sqrt{243}=9\sqrt3.$$

Então:

$$3^x=9\sqrt3 =3^2\cdot3^{1/2} =3^{5/2}.$$

Logo:

$$x=\frac52.$$

Como:

$$0\leq\frac52\leq6,$$

temos:

$$\boxed{\text{c)}}$$

🧩 Exercício 2 ITA/78Médio

A soma de todos os valores de $x$ que satisfazem à identidade

$$9^{x-\frac12}-\frac{4}{3^{1-x}}=-1$$

é:

Escrevendo tudo na base $3$:

$$9^{x-\frac12}=3^{2x-1}$$

e

$$\frac{4}{3^{1-x}} = 4\cdot3^{x-1}.$$

Assim:

$$3^{2x-1}-4\cdot3^{x-1}=-1.$$

Fazendo:

$$t=3^{x-1},$$

temos:

$$3^{2x-1}=3t^2.$$

Logo:

$$3t^2-4t=-1$$

ou:

$$3t^2-4t+1=0.$$

Fatorando:

$$(3t-1)(t-1)=0.$$

Portanto:

$$t=\frac13 \quad\text{ou}\quad t=1.$$

Como $t=3^{x-1}$:

$$3^{x-1}=3^{-1} \Rightarrow x=0$$

ou

$$3^{x-1}=3^0 \Rightarrow x=1.$$

A soma é:

$$0+1=\boxed{1}.$$

Portanto:

$$\boxed{\text{b)}}$$

🧩 Exercício 3 ITA/00Médio

A soma das raízes reais positivas da equação

$$4^{x^2}-5\cdot2^{x^2}+4=0$$

vale:

Como:

$$4^{x^2}=2^{2x^2},$$

faça:

$$t=2^{x^2}.$$

Então:

$$4^{x^2}=t^2.$$

A equação fica:

$$t^2-5t+4=0.$$

Fatorando:

$$(t-1)(t-4)=0.$$

Logo:

$$t=1 \quad\text{ou}\quad t=4.$$

Primeiro caso

$$2^{x^2}=1=2^0.$$

Então:

$$x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

Como queremos apenas raízes positivas, descartamos $x=0$.

Segundo caso

$$2^{x^2}=4=2^2.$$

Logo:

$$x^2=2.$$

Portanto:

$$x=\pm\sqrt2.$$

A única raiz positiva é:

$$\boxed{\sqrt2}.$$

🧩 Exercício 4 ITA/13Médio

A soma de todos os números reais $x$ que satisfazem a equação

$$8^{\sqrt{x+1}} + 44\left(2^{\sqrt{x+1}}\right) + 64 = 19\left(4^{\sqrt{x+1}}\right)$$

é igual a:

Faça a substituição:

$$t=2^{\sqrt{x+1}}.$$

Como $\sqrt{x+1}\geq0$, temos:

$$t\geq1.$$

Além disso:

$$4^{\sqrt{x+1}}=t^2$$

e

$$8^{\sqrt{x+1}}=t^3.$$

Substituindo:

$$t^3+44t+64=19t^2.$$

Logo:

$$t^3-19t^2+44t+64=0.$$

Fatorando:

$$(t-16)(t-4)(t+1)=0.$$

Assim:

$$t=16,\quad t=4,\quad t=-1.$$

Como $t\geq1$, descartamos $t=-1$.

Para $t=4$

$$2^{\sqrt{x+1}}=4=2^2.$$

Logo:

$$\sqrt{x+1}=2$$

e:

$$x+1=4 \Rightarrow x=3.$$

Para $t=16$

$$2^{\sqrt{x+1}}=16=2^4.$$

Então:

$$\sqrt{x+1}=4$$

e:

$$x+1=16 \Rightarrow x=15.$$

A soma é:

$$3+15=\boxed{18}.$$

Portanto:

$$\boxed{\text{d)}}$$

🧩 Exercício 5 Médio

Resolva a equação:

$$3^{2x}-34(15^{x-1})+5^{2x}=0.$$

Dividindo toda a equação por $3^{2x}$:

$$1 - 34\frac{15^{x-1}}{3^{2x}} + \frac{5^{2x}}{3^{2x}} =0.$$

Observe que:

$$15^{x-1} = \frac{3^x5^x}{15}.$$

Assim:

$$\frac{15^{x-1}}{3^{2x}} = \frac1{15}\left(\frac53\right)^x.$$

Além disso:

$$\frac{5^{2x}}{3^{2x}} = \left(\frac53\right)^{2x}.$$

Portanto:

$$1-\frac{34}{15}\left(\frac53\right)^x + \left(\frac53\right)^{2x} =0.$$

Faça:

$$t=\left(\frac53\right)^x.$$

Então:

$$t^2-\frac{34}{15}t+1=0.$$

Multiplicando por $15$:

$$15t^2-34t+15=0.$$

Fatorando:

$$(3t-5)(5t-3)=0.$$

Logo:

$$t=\frac53 \quad\text{ou}\quad t=\frac35.$$

Como:

$$\frac53=\left(\frac53\right)^1,$$

temos:

$$x=1.$$

E:

$$\frac35=\left(\frac53\right)^{-1},$$

portanto:

$$x=-1.$$

Assim:

$$\boxed{x=-1\text{ ou }x=1}.$$

🧩 Exercício 6 Médio

Resolva a equação

$$2^{2x+2}-5(6^x)=3^{2x+2}$$

e calcule o valor de $5^x$.

Temos:

$$2^{2x+2}=4\cdot4^x$$

e:

$$3^{2x+2}=9\cdot9^x.$$

Logo:

$$4\cdot4^x-5\cdot6^x=9\cdot9^x.$$

Dividindo por $6^x$:

$$4\left(\frac23\right)^x-5 = 9\left(\frac32\right)^x.$$

Faça:

$$t=\left(\frac32\right)^x.$$

Então:

$$\left(\frac23\right)^x=\frac1t.$$

Assim:

$$\frac4t-5=9t.$$

Multiplicando por $t$:

$$4-5t=9t^2.$$

Portanto:

$$9t^2+5t-4=0.$$

Fatorando:

$$(9t-4)(t+1)=0.$$

Logo:

$$t=\frac49 \quad\text{ou}\quad t=-1.$$

Como $t>0$, temos:

$$t=\frac49.$$

Portanto:

$$\left(\frac32\right)^x=\frac49.$$

Como:

$$\frac49=\left(\frac32\right)^{-2},$$

segue que:

$$x=-2.$$

Finalmente:

$$5^x=5^{-2} = \boxed{\frac1{25}}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$

🧩 Exercício 7 Médio

Considere a função

$$f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt a}.$$

Calcule o valor de:

$$\sum_{r=1}^{2n-1}2f\left(\frac{r}{2n}\right).$$

Vamos observar uma propriedade importante da função.

Temos:

$$f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt a}.$$

Podemos dividir o numerador e o denominador por $\sqrt a$:

$$f(x) = \frac{a^{x-\frac12}} {a^{x-\frac12}+1}.$$

Agora vamos calcular $f(1-x)$:

$$f(1-x) = \frac{a^{1-x}} {a^{1-x}+\sqrt a}.$$

Da mesma forma:

$$f(1-x) = \frac{a^{\frac12-x}} {a^{\frac12-x}+1}.$$

Colocando $u=a^{x-\frac12}$, temos:

$$f(x)=\frac{u}{u+1}$$

e

$$f(1-x)=\frac{1/u}{1/u+1} =\frac{1}{u+1}.$$

Portanto:

$$\boxed{f(x)+f(1-x)=1}.$$

Agora vamos aplicar essa propriedade aos termos da soma.

A soma é:

$$\sum_{r=1}^{2n-1} 2f\left(\frac{r}{2n}\right).$$

Para cada $r$, podemos associar o termo correspondente a $2n-r$:

$$\frac{2n-r}{2n} = 1-\frac{r}{2n}.$$

Assim:

$$f\left(\frac{r}{2n}\right) + f\left(\frac{2n-r}{2n}\right) =1.$$

Existem $n-1$ pares:

$$(1,2n-1),\ (2,2n-2),\ldots,(n-1,n+1).$$

Cada par contribui com:

$$2\cdot1=2.$$

Além disso, existe o termo central, correspondente a $r=n$:

$$f\left(\frac{n}{2n}\right) = f\left(\frac12\right).$$

Como:

$$f\left(\frac12\right) = \frac{\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt a} = \frac12,$$

sua contribuição para a soma é:

$$2f\left(\frac12\right)=1.$$

Portanto, a soma possui:

$$n-1$$

pares, cada um contribuindo com $2$, mais o termo central, que contribui com $1$.

Logo:

$$S=2(n-1)+1.$$

Portanto:

$$\boxed{S=2n-1}.$$

🧩 Exercício 8 Médio

Quantas soluções reais possui a equação

$$2^x+3^x=6^x?$$

Vamos dividir toda a equação por $6^x$.

Como $6^x>0$ para todo $x\in\mathbb R$, isso não altera as soluções:

$$\frac{2^x}{6^x} + \frac{3^x}{6^x} =1.$$

Assim:

$$\left(\frac13\right)^x + \left(\frac12\right)^x =1.$$

Definimos:

$$g(x)=\left(\frac13\right)^x+\left(\frac12\right)^x.$$

As duas funções

$$\left(\frac13\right)^x \quad\text{e}\quad \left(\frac12\right)^x$$

são estritamente decrescentes, pois suas bases estão entre $0$ e $1$.

Consequentemente, $g(x)$ também é estritamente decrescente.

Agora vamos verificar dois valores:

Para $x=0$:

$$g(0)=1+1=2>1.$$

Para $x=1$:

$$g(1)=\frac13+\frac12 =\frac56<1.$$

Como $g$ é contínua e passa de um valor maior que $1$ para um valor menor que $1$, existe uma solução entre $0$ e $1$.

Além disso, como $g$ é estritamente decrescente, ela pode assumir o valor $1$ uma única vez.

Portanto, a equação possui:

$$\boxed{1}$$

solução real.

🧩 Exercício 9 ITA/73Médio

A lei de decomposição do radium no tempo $t\geq0$ é dada pela fórmula

$$N(t)=Ce^{-kt},$$

onde $N(t)$ é a quantidade de radium no tempo $t$, e $C$ e $k$ são constantes positivas.

Se a metade da quantidade primitiva, $M(0)$, desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?

Temos a lei de decomposição:

$$N(t)=Ce^{-kt}.$$

No instante inicial, $t=0$, temos:

$$N(0)=Ce^0=C.$$

Portanto, $C$ representa a quantidade inicial de radium.

O problema informa que metade da quantidade inicial desaparece em 1600 anos. Portanto, depois de 1600 anos, resta metade:

$$N(1600)=\frac{C}{2}.$$

Substituindo na fórmula:

$$Ce^{-1600k}=\frac{C}{2}.$$

Como $C>0$, podemos dividir por $C$:

$$e^{-1600k}=\frac12.$$

Agora queremos descobrir quanto resta depois de 100 anos.

Temos:

$$N(100)=Ce^{-100k}.$$

A partir de

$$e^{-1600k}=\frac12,$$

podemos escrever:

$$e^{-100k} = \left(e^{-1600k}\right)^{\frac{100}{1600}}.$$

Como:

$$\frac{100}{1600}=\frac1{16},$$

segue que:

$$e^{-100k} = \left(\frac12\right)^{1/16} = 2^{-1/16}.$$

Logo:

$$N(100)=C2^{-1/16}.$$

Essa é a quantidade que ainda resta após 100 anos.

Mas a questão pergunta a quantidade perdida.

Assim:

$$C-N(100) = C-C2^{-1/16}.$$

Colocando $C$ em evidência:

$$C\left(1-2^{-1/16}\right).$$

Portanto, a quantidade perdida, em relação à quantidade inicial, é:

$$\boxed{1-2^{-1/16}}.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d)}}.$$

🧩 Exercício 10 ITA/93Médio

Um acidente de carro foi presenciado por $1/65$ da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que soube do acontecimento $t$ horas após é dado por

$$f(t)=\frac{B}{1+Ce^{-kt}},$$

onde $B$ é a população da cidade.

Sabendo-se que $1/9$ da população soube do acidente 3 horas após, então o tempo passado até que $1/5$ da população soubesse da notícia foi de:

Temos:

$$f(t)=\frac{B}{1+Ce^{-kt}}.$$

Dividindo a quantidade de pessoas que souberam da notícia por $B$, podemos trabalhar diretamente com a fração da população.

No instante $t=0$, o acidente foi presenciado por $1/65$ da população. Portanto:

$$f(0)=\frac{B}{65}.$$

Substituindo $t=0$:

$$\frac{B}{1+C}=\frac{B}{65}.$$

Dividindo por $B$:

$$\frac1{1+C}=\frac1{65}.$$

Logo:

$$1+C=65$$

e:

$$C=64.$$

Assim, a função fica:

$$f(t)=\frac{B}{1+64e^{-kt}}.$$

Agora usamos a informação de que, após 3 horas, $1/9$ da população já sabia do acidente:

$$f(3)=\frac{B}{9}.$$

Portanto:

$$\frac{B}{1+64e^{-3k}} = \frac{B}{9}.$$

Dividindo por $B$:

$$\frac1{1+64e^{-3k}}=\frac19.$$

Logo:

$$1+64e^{-3k}=9$$

e:

$$64e^{-3k}=8.$$

Portanto:

$$e^{-3k}=\frac18=2^{-3}.$$

Como:

$$e^{-3k}=2^{-3},$$

temos:

$$e^{-k}=2^{-1}=\frac12.$$

Agora queremos saber quando $1/5$ da população terá conhecimento do acidente.

Seja esse instante $t$.

Então:

$$f(t)=\frac{B}{5}.$$

Substituindo:

$$\frac{B}{1+64e^{-kt}} = \frac{B}{5}.$$

Dividindo por $B$:

$$\frac1{1+64e^{-kt}}=\frac15.$$

Assim:

$$1+64e^{-kt}=5.$$

Logo:

$$64e^{-kt}=4$$

e:

$$e^{-kt}=\frac4{64}=\frac1{16}=2^{-4}.$$

Como $e^{-k}=1/2$, temos:

$$e^{-kt} = \left(e^{-k}\right)^t = \left(\frac12\right)^t.$$

Portanto:

$$\left(\frac12\right)^t = \frac1{16} = \left(\frac12\right)^4.$$

Daí:

$$t=4.$$

Portanto, o tempo passado até que $1/5$ da população soubesse da notícia foi:

$$\boxed{4\text{ horas}}.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$