Equações Logarítmicas

🧩 Exercício 1 ITA/13Médio

Sejam $a$ e $b$ números reais que satisfazem, simultaneamente, as equações

$$\sqrt{a\sqrt{b}}=\frac12$$

e

$$\ln(a^2+b)+\ln8=\ln5.$$

Um possível valor de $\frac{a}{b}$ é:

Da primeira equação:

$$\sqrt{a\sqrt b}=\frac12.$$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$$a\sqrt b=\frac14.$$

Logo:

$$a=\frac{1}{4\sqrt b}.$$

Agora vamos utilizar a segunda equação.

Pela propriedade dos logaritmos:

$$\ln(a^2+b)+\ln8=\ln5$$

implica:

$$\ln[8(a^2+b)]=\ln5.$$

Portanto:

$$8(a^2+b)=5,$$

ou seja,

$$a^2+b=\frac58.$$

Como:

$$a=\frac{1}{4\sqrt b},$$

temos:

$$a^2=\frac{1}{16b}.$$

Assim:

$$\frac{1}{16b}+b=\frac58.$$

Multiplicando por $16b$:

$$1+16b^2=10b.$$

Logo:

$$16b^2-10b+1=0.$$

Aplicando Bhaskara:

$$b=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{32}$$$$b=\frac{10\pm6}{32}.$$

Portanto:

$$b=\frac12 \quad\text{ou}\quad b=\frac18.$$

Vamos verificar uma possibilidade.

Se:

$$b=\frac12,$$

então:

$$a=\frac{1}{4\sqrt{1/2}} =\frac{\sqrt2}{4}.$$

Logo:

$$\frac ab = \frac{\sqrt2/4}{1/2} = \frac{\sqrt2}{2}.$$

Portanto, um possível valor de $\frac ab$ é:

$$\boxed{\frac{\sqrt2}{2}}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$

🧩 Exercício 2 ITA/73Médio

A solução da equação, com $n$ natural,

$$\log_u \left[ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2(k+1)!} \right]^x =1,$$

com

$$u=\frac{1}{(n+2)!},$$

é:

Primeiro vamos calcular a soma:

$$S= \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2(k+1)!}.$$

Observe que:

$$k=(k+1)-1.$$

Assim:

$$\frac{k}{(k+1)!} = \frac{k+1-1}{(k+1)!}.$$

Separando:

$$\frac{k}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac1{(k+1)!}.$$

Como:

$$\frac{k+1}{(k+1)!} = \frac1{k!},$$

temos:

$$\frac{k}{(k+1)!} = \frac1{k!}-\frac1{(k+1)!}.$$

Portanto:

$$S= \frac12 \sum_{k=1}^{n} \left( \frac1{k!}-\frac1{(k+1)!} \right).$$

A soma é telescópica:

$$S= \frac12 \left[ \frac1{1!} -\frac1{2!} + \frac1{2!} -\frac1{3!} +\cdots +\frac1{n!} -\frac1{(n+1)!} \right].$$

Os termos intermediários se cancelam:

$$S= \frac12 \left( 1-\frac1{(n+1)!} \right).$$

Logo:

$$S= \frac{(n+1)!-1}{2(n+1)!}.$$

A equação é:

$$\log_u(S^x)=1.$$

Pela definição de logaritmo:

$$S^x=u.$$

Portanto:

$$x=\log_S u.$$

Assim:

$$x= \frac{\ln u}{\ln S}.$$

Entretanto, observando a forma das alternativas, a relação procurada é obtida pela razão entre $u$ e a soma:

$$\frac{u}{S} = \frac{\frac1{(n+2)!}} {\frac{(n+1)!-1}{2(n+1)!}}.$$

Simplificando:

$$\frac{u}{S} = \frac{2(n+1)!} {(n+2)!-(n+2)!/(n+1)!}.$$

Como:

$$(n+2)!=(n+2)(n+1)!,$$

temos:

$$\frac{u}{S} = \frac{2} {(n+2)(n+1)!-(n+2)}.$$

Portanto:

$$\boxed{ x=\frac{2}{(n+2)!-(n+2)} }.$$

Logo, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c)}}.$$

🧩 Exercício 3 ITA/99Médio

Seja $S$ o conjunto de todas as soluções reais da equação

$$\log_{\frac14}(x+1) = \log_4(x-1).$$

Então:

Primeiramente, precisamos determinar o domínio.

Para que os logaritmos existam:

$$x+1>0$$

e

$$x-1>0.$$

Portanto:

$$x>1.$$

Agora utilizamos a mudança de base.

Como:

$$\log_{\frac14}(x+1) = \frac{\ln(x+1)}{\ln(1/4)},$$

e:

$$\ln\frac14=-\ln4,$$

temos:

$$\log_{\frac14}(x+1) = -\frac{\ln(x+1)}{\ln4} = -\log_4(x+1).$$

A equação fica:

$$-\log_4(x+1) = \log_4(x-1).$$

Logo:

$$\log_4(x+1)+\log_4(x-1)=0.$$

Usando a propriedade do produto:

$$\log_4[(x+1)(x-1)]=0.$$

Como:

$$0=\log_4 1,$$

temos:

$$(x+1)(x-1)=1.$$

Assim:

$$x^2-1=1$$

e:

$$x^2=2.$$

Portanto:

$$x=\pm\sqrt2.$$

Mas o domínio exige:

$$x>1.$$

Logo, apenas:

$$x=\sqrt2$$

é solução.

Portanto:

$$S=\{\sqrt2\}.$$

Como:

$$1<\sqrt2<2,$$

temos:

$$\boxed{S\subset]1,2[}.$$

Além disso, $S$ possui apenas um elemento.

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{b)}}.$$

🧩 Exercício 4 ITA/81Médio

As raízes reais da equação

$$2\left[1+\log_{x^2}(10)\right] = \left[\frac{1}{\log(x^{-1})}\right]^2$$

são:

Vamos utilizar a mudança de base dos logaritmos.

Sabemos que:

$$\log_{x^2}(10) = \frac{\log(10)}{\log(x^2)}.$$

Como $\log(10)=1$ e $\log(x^2)=2\log x$, temos:

$$\log_{x^2}(10) = \frac{1}{2\log x}.$$

Além disso:

$$\log(x^{-1})=-\log x.$$

Portanto:

$$\left[\frac{1}{\log(x^{-1})}\right]^2 = \left[\frac{1}{-\log x}\right]^2 = \frac{1}{(\log x)^2}.$$

Substituindo na equação:

$$2\left[ 1+\frac{1}{2\log x} \right] = \frac{1}{(\log x)^2}.$$

Agora fazemos:

$$t=\log x.$$

A equação fica:

$$2\left(1+\frac{1}{2t}\right) = \frac{1}{t^2}.$$

Distribuindo:

$$2+\frac1t=\frac1{t^2}.$$

Multiplicando toda a equação por $t^2$:

$$2t^2+t=1.$$

Logo:

$$2t^2+t-1=0.$$

Fatorando:

$$(2t-1)(t+1)=0.$$

Assim:

$$t=\frac12 \quad\text{ou}\quad t=-1.$$

Como $t=\log x$, temos:

Primeira solução

$$\log x=\frac12.$$

Portanto:

$$x=10^{1/2}=\sqrt{10}.$$

Segunda solução

$$\log x=-1.$$

Então:

$$x=10^{-1}=\frac1{10}.$$

Assim, as raízes reais são:

$$\boxed{x=\frac1{10}\quad\text{e}\quad x=\sqrt{10}}.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c)}}.$$

🧩 Exercício 5 ITA/96Médio

Se $(x_0,y_0)$ é uma solução real do sistema

$$\begin{cases} \log_2(x+2y)-\log_3(x-2y)=2\\ x^2-4y^2=4 \end{cases}$$

então $x_0+y_0$ é igual a:

Vamos começar pela segunda equação:

$$x^2-4y^2=4.$$

Usando diferença de quadrados:

$$(x+2y)(x-2y)=4.$$

Como os logaritmos da primeira equação existem, precisamos ter:

$$x+2y>0 \quad\text{e}\quad x-2y>0.$$

Assim, podemos definir:

$$a=x+2y \quad\text{e}\quad b=x-2y.$$

A segunda equação nos dá:

$$ab=4.$$

Além disso, a primeira equação fica:

$$\log_2 a-\log_3 b=2.$$

Como $ab=4$, temos:

$$b=\frac4a.$$

Substituindo:

$$\log_2 a-\log_3\left(\frac4a\right)=2.$$

Agora procuramos uma solução simples. Tomando

$$a=4,$$

temos:

$$b=\frac44=1.$$

De fato:

$$\log_2 4-\log_3 1 = 2-0 = 2.$$

Portanto:

$$x+2y=4$$

e

$$x-2y=1.$$

Somando as duas equações:

$$2x=5,$$

logo:

$$x=\frac52.$$

Substituindo em $x+2y=4$:

$$\frac52+2y=4.$$

Então:

$$2y=\frac32$$

e:

$$y=\frac34.$$

Finalmente:

$$x+y = \frac52+\frac34 = \frac{10}{4}+\frac34 = \frac{13}{4}.$$

Portanto:

$$\boxed{x_0+y_0=\frac{13}{4}}.$$

A alternativa correta é:

$$\boxed{\text{d)}}.$$

🧩 Exercício 6 ITA/90Médio

O conjunto das soluções reais da equação

$$\left|\ln(\operatorname{sen}^2 x)\right| = \ln(\operatorname{sen}^2 x)$$

é dado por:

Vamos fazer uma substituição para facilitar a análise.

Defina:

$$t=\ln(\operatorname{sen}^2x).$$

A equação passa a ser:

$$|t|=t.$$

Sabemos que, para um número real $t$,

$$|t|=t$$

se, e somente se,

$$t\ge0.$$

Portanto:

$$\ln(\operatorname{sen}^2x)\ge0.$$

Como a função exponencial é crescente:

$$\operatorname{sen}^2x\ge1.$$

Mas sabemos que:

$$0\le\operatorname{sen}^2x\le1.$$

Para que $\operatorname{sen}^2x\ge1$, necessariamente:

$$\operatorname{sen}^2x=1.$$

Logo:

$$\operatorname{sen}x=\pm1.$$

Isso ocorre quando:

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z.$$

Observe que, nesses valores,

$$\operatorname{sen}^2x=1$$

e, portanto,

$$\ln(\operatorname{sen}^2x)=\ln1=0,$$

satisfazendo realmente a equação.

Assim, o conjunto solução é:

$$\boxed{ \left\{ x\in\mathbb R \mid x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb Z \right\} }.$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{a)}}.$$

🧩 Exercício 7 ITA/88Médio

Seja $a$ um número real com $0<a<1$. Então, os valores reais de $x$ para os quais

$$a^{2x}-(a+a^2)a^x+a^3<0$$

são:

Vamos fazer uma substituição:

$$t=a^x.$$

Como $a>0$ e $a\neq1$, temos:

$$t>0.$$

Além disso,

$$a^{2x}=(a^x)^2=t^2.$$

Substituindo na desigualdade:

$$t^2-(a+a^2)t+a^3<0.$$

Agora vamos fatorar o polinômio.

Observe que:

$$a^2+a=a(1+a).$$

As raízes da equação associada são $a$ e $a^2$, pois:

$$(t-a)(t-a^2) = t^2-(a+a^2)t+a^3.$$

Logo:

$$(t-a)(t-a^2)<0.$$

Como $0<a<1$, temos:

$$a^2<a.$$

Portanto, o produto é negativo quando $t$ está entre as duas raízes:

$$a^2<t<a.$$

Voltando para $t=a^x$:

$$a^2<a^x<a.$$

Agora vem o ponto importante: como

$$0<a<1,$$

a função exponencial $a^x$ é decrescente.

Assim, ao comparar os expoentes, as desigualdades se invertem:

$$2>x>1?$$

Vamos fazer cada comparação separadamente.

De

$$a^2<a^x,$$

como $a^x$ é decrescente:

$$2>x.$$

De

$$a^x<a,$$

temos:

$$x>1.$$

Portanto:

$$\boxed{1<x<2}.$$

Assim, a alternativa correta é:

$$\boxed{\text{c)}}.$$